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fonction cosinus hyperbolique.md

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+---
+alias: ["ch", "cosinus hyperbolique"]
+sr-due: 2022-09-10
+sr-interval: 22
+sr-ease: 302
+---
+up::[[trigonométrie]], [[fonctions]]
+sibling::[[fonction sinus hyperbolique|sh]]
+derivative::[[fonction sinus hyperbolique|-sh]]
+primitive::
+properties::[[fonction paire|paire]]
+description::"$\mathbb{R} \to [1; +\infty[$", "$\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$"
+title::$\mathrm{ch}$
+#maths/analyse #maths/trigonométrie
+
+----
+Notée $\cosh$ ou $\text{ch}$.
+$\mathrm{ch}(x) = \dfrac{e^x+e^{-x}}2$
+
+Elle est appelée _cosinus_ car sa définition ressemble à celle de la [[fonction cosinus]]
+
+# Graphe
+```desmos-graph
+    top=3
+left=-2; right=2
+    bottom=-1
+width=350; height=350
+---
+y = \cosh(x)
+(0, 1) | black
+```
+
+# Propriétés
+$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4 - \dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4 = 1$
+(Voir [[fonction sinus hyperbolique]])
+
+ - $\mathrm{ch}$ est une [[fonction paire]]
+ - dérivée : $\mathrm{ch}' = \mathrm{sh}$ la [[fonction sinus hyperbolique]] (existe sur $\mathbb{R}$)
+     - **sans** changement de signe comme $\cos' = -\sin$
+     - [[tangente à une courbe|tangente]] horizontale en $0$
+ - [[asymptote]] à $\mathrm{sh}$ en $+\infty$ et à $-\mathrm{sh}$ en $-\infty$
+ - $\mathrm{ch} \underset{+\infty}{\sim} \mathrm{sh}$ ([[fonctions équivalentes|équivalentes]]) et $\mathrm{ch} \underset{-\infty}{\sim} -\mathrm{sh}$
+
+
+### Note :
+$\cos(x) = \mathrm{ch}(ix)$ soit $\mathrm{ch}(x) = \cos\left(\frac{x}{i}\right) = \cos(-ix)$
+⚠️ $\cos$ ne peut pas être défini sur $\mathbb{C}$ car il perd ses propriétés