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fonction arg sinus hyperbolique.md

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+alias: ["argsh", "arg sinus hyperbolique"]
+---
+up::[[fonction sinus hyperbolique]]
+sibling::[[fonction arg cosinus hyperbolique|argch]]
+properties::[[bijection|bijective]]
+derivative::$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
+primitive::""
+description::"$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$", "$x \mapsto \ln\left(x+ \sqrt{1+x^{2}}\right)$"
+title::$\arg \mathrm{sh}$
+#maths/analyse #maths/trigonométrie 
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+----
+[[fonction réciproque]] du [[fonction sinus hyperbolique|sinus hyperbolique]]
+
+$\begin{align*} \arg\mathrm{sh} : \quad & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & y \mapsto x \text{ tel que } y = \mathrm{sh}(x) \\ & x \mapsto \ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\end{align*}$
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+**Note :** $\mathrm{sh}'$ ne s'annulle jamais, donc $\arg \mathrm{sh}$ existe sur $\mathbb{R}$
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+```desmos-graph
+x = \sinh(y)
+```
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+# Propriétés
+
+ - $\arg\mathrm{sh}$ est [[fonction dérivable|dérivable]] sur $\mathbb{R}$
+     - $(\arg\mathrm{sh})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
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+[[démonstration de l'expression de l'arg sinus hyperbolique|démonstration]] de $\arg\mathrm{sh} x = \ln \left( x+ \sqrt{1+x^{2}} \right)$
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