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fonction arccosinus.md

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+---
+alias: ["arccos", "arccosinus", "fonction arccosinus"]
+---
+up::[[fonction cosinus]]
+sibling::[[fonction arcsinus|arcsin]]
+properties::
+description::"$[-1;1] \to \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$", "$x \mapsto \arccos(x)$"
+derivative::"$- \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$"
+primitive::"$x \arccos (x) - \sqrt{ 1 - x^{2} } + \text{cste.}$"
+title::$\arccos$
+#maths/analyse #maths/trigonométrie
+
+----
+
+La fonction $\arccos$ est la [[fonction réciproque]] de la [[fonction cosinus]].
+
+La fonction $\cos$ n'est pas [[bijection|bijective]] sur $\mathbb{R}$, mais réduite à l'intervalle $[0; \pi]$, $\cos/_{[0;\pi]}$ est [[fonction continue|continue]] et [[fonction monotone|strictement monotone]], donc elle est bijective.
+Elle possède donc une [[fonction réciproque]], la fonction $\arccos$ :
+
+
+$$\begin{aligned}
+\cos: &[0; \pi] \rightarrow [-1; 1]\\
+      &x \mapsto \cos(x)\\
+&\\
+\arccos: &[-1; 1] \rightarrow \left[-\dfrac\pi2; \dfrac\pi2\right]\\
+	&x \mapsto y\text{ tel que }\cos(y) = x \text{ et } y\in[0, \pi]\\
+\end{aligned}$$
+
+```desmos-graph
+width=400pt; height=400pt;
+top=3.5;
+left= -2;right=2;
+bottom=-0.5;
+---
+y=\arccos(x)
+```
+
+# Propriétés
+
+ - $\cos(\arcsin(x)) = -\sqrt{1 - x^2}$
+ - $\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}$
+
+## Dérivation
+$\arccos$ est [[fonction dérivable|dérivable]] sur $\mathbb R$ (son [[ensemble de définition]]).
+La [[dérivation|dérivée]] de $\arccos$ peut être calculée grâce à la formule de [[dérivation]] d'une fonction réciproque :
+$(f^{-1})' = \dfrac1{f'\circ f^{-1}}$
+
+- On à alors :
+$$\begin{aligned}
+\arccos'(x) &= \dfrac1{\cos'(\arccos x)}\\
+&= -\dfrac1{\sin(\arccos x)}\\
+&= -\dfrac1{\sqrt{\sin^2(\arccos x)}}\\
+&= -\dfrac1{\sqrt{1 - \cos^2(\arccos x)}}\\
+&= -\dfrac1{\sqrt{1 - x^2}}
+\end{aligned}$$
+
+
+## Equations avec des arccosinus
+Pour résoudre une équation avec des $\arccos$, on commence par poser :
+$$\arccos x = y \iff \left\{ \begin{array}{l} x = \cos y\\\text{et}\\y \in [0; \pi] \end{array} \right.$$