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famille de vecteurs échelonnée.md

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+alias: [ "échelonnée" ]
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+up::[[famille de vecteurs]]
+title:: "famille qui forme une matrice triangulaire", "[[famille de vecteurs échelonnée|échelonnée]] $\implies$[[famille de vecteurs libre|libre]]"
+#maths/algèbre 
+
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+
+> [!definition] famille de vecteurs échelonnée
+> Soient $v_1,\ldots,v_k$ des vecteurs de $\mathbb{R}^n$ avec $1\leq k \leq n$. On dit que la famille $\{v_1,\ldots,v_k\}$ est _échelonnée_ ssi :
+>  - la **première coordonnée** de $v_1$ est non nulle et les autres sont nulles
+>  - les **deux premières coordonnées** de $v_2$ sont non nulles et les autres sont nulles
+>  - $\vdots$
+>  - les **$k$ premières coordonnées** de $v_k$ sont non nulles et les autres sont nulles
+> 
+> C'est-à-dire ssi : $\forall i,t\in[\![1;k]\!]^2, (t>i \iff v_i[t] = 0)$
+> (où $v_i[t]$ est là $t^{\text{ème}}$ coordonnée de $v_i$)
+^definition
+
+# Exemples
+La famille $\left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2\\-4\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2\\6\\3 \end{pmatrix}\right\}$ est _échelonnée_ dans $\mathbb{R}^3$.
+
+La famille $\left\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\0\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\-4\\0\\4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\2\\3\\-1 \end{pmatrix} \right\}$ n'est **pas** _échelonnée_ $\mathbb{R}^4$.
+
+
+# Propriétés
+ - Toute famille _échelonnée_ dans $\mathbb{R}^n$ est [[famille de vecteurs libre|libre]]
+
+> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
+> ```dataview
+> LIST title
+> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
+> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
+> WHERE file != this.file
+> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up
+> ```
+