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espace dual d'un espace vectoriel.md

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+alias: [ "ensemble des formes linéaire", "espace dual", "espace vectoriel dual" ]
+---
+up:: [[espace vectoriel]]
+title:: 
+#maths/algèbre 
+
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+
+> [!definition] ensemble des formes linéaire d'un espace vectoriel
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> On note $E^{*}$ l'ensemble des formes linéaires sur $E$
+> 
+> $E^{*}$ est appelé **espace dual de $E$**
+> 
+> On peut également utiliser la notation $\mathcal{L}(E, \mathbf{K})$ (l'[[ensemble des applications linéaires]] de $E \to \mathbf{K}$)
+^definition
+
+# Propriétés
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+ - $\dim E^{*} = \dim E$
+     - Evident car une forme linéaire sur $E$ est une matrice de taille $1\times \dim E$, et donc $E^{*}$ peut être assimilé à $E$ par les matrices des formes linéaires
+     - preuve : $\dim E* = \dim \left( \mathcal{L}(E, \mathbf{K}) \right) = \underbrace{\dim E \times \dim K}_{\text{taille des matrices de } E^{*}} = \dim E \times 1 = \dim E$
+