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espace affine.md

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+up:: [[espace]]
+title::
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] Espace affine
+> On appelle _espace affine $\mathcal{E}$ associé à l'espace vectoriel $\vec{E}$_ un ensemble de points tel que :
+>  - $\forall (A, B) \in \mathcal{E}^{2}, \quad \exists \vec{v} \in \vec{E}, \vec{v} = \overrightarrow{AB}$
+>      - Pour tous points $(A, B) \in \mathcal{E}^{2}$ on peut trouver $\overrightarrow{AB} \in \vec{E}$
+>      - chaque paire de points à son vecteur dans $\vec{E}$
+>  - $\forall (A, B) \in \mathcal{E}, \quad \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}$
+>      - inverser les points oppose le vecteur
+>  - $\forall (A, B, C) \in \mathcal{E}, \quad \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ([[relation de chasles]])
+>  - $\forall O\in \mathcal{E}, \quad \forall v \in \vec{E}, \quad \exists! A \in \mathcal{E}, \quad \overrightarrow{OA} = \vec{v}$
+>      - Pour toute [[translation]] fixée, il existe une unique image de chaque point (la [[translation]] est une [[injection]])
+>      - On déduit ensuite que la translation est une bijection par l'axiome $\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}$
+^definition
+
+> [!definition] Repère d'un espace affine 
+> Soit $\mathcal{E}$ un espace affine
+> Soit $\vec{E}$ l'[[espace vectoriel]] associé à $\mathcal{E}$
+> Un **repère** de $\mathcal{E}$ est constitué d'un point $O \in \mathcal{E}$ et d'une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $\vec{E}$
+> > [!example] Exemple 
+> > Soit l'espace affine $\mathbb{R}^{2}$ associé à l'[[espace vectoriel]] $\mathbb{R}^{2}$
+> > On note $(O, \vec{i}, \vec{j})$ les repères de $\mathbb{R}^{2}$, où $O$ est un point, et $\left\{ \vec{i}; \vec{j} \right\}$ une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $\mathbb{R}^{2}$
+> > 
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+# Propriétés
+
+
+> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
+> ```dataview
+> TABLE title
+> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
+> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
+> WHERE file != this.file
+> SORT up.up.up.up, up.up.up, up.up, up, file.name
+> ```
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