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endomorphisme normal.md

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+alias: [ "normal" ]
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+up:: [[endomorphisme]]
+title:: "$f \circ f^{*} = f^{*} \circ f$ (commute avec son [[endomorphisme adjoint|adjoint]])"
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] endomorphisme normal
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Soit $f : E \mapsto E$ un [[endomorphisme linéaire]] de $E$.
+> On note $f^{*}$ l'[[endomorphisme adjoint|adjoint]] de $f$.
+> Alors, $f$ est **normal** ssi $f^{*}\circ f= f \circ f^{*}$
+^definition
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+> [!definition] Autre définition
+> $f$ est normal ssi $\forall x \in E, \quad \|f(x)\| = \|f^{*}(x)\|$
+
+# Propriétés
+ - les [[vecteur propre|vecteurs propres]] de $f$
+ sont les mêmes que ceux de $f^{*}$
+
+ - tout endomorphisme [[matrice symétrique|symétrique]], [[matrice antisymétrique|antisymétrique]] ou [[matrice orthogonale|orthogonal]] est normal