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division euclidienne.md

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+up::[[MOC arithmétique]]
+#maths/arithmétique
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+> [!definition] Division euclidienne
+> Soient $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$, il existe des entiers $(q,r)\in\mathbb{Z}$ tels que $\fbox{a = bq+r}$ avec $0\leq r\leq b$ 
+> On montre que le couple $(q, r)$ est [[division euclidienne#Unicité du quotient et du reste|unique]].
+> On appelle $q$ le **quotient**, et $r$ le **reste**, de la division de $a$ par $b$
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+# Propriétés
+ - $b$ [[divisibilité|divise]] $a$ ssi. le reste de $a$ divisé par $b$ est nul ($r=0$)
+ - 
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+# Démonstrations
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+## Unicité du quotient et du reste
+On utilise une [[démonstration par l'absurde]].
+Soit $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$
+On suppose qu'il existe $q, r$ et $q', r'$ deux quotients et restes tels que :
+ - $(q, q')\in\mathbb{Z}^2$
+ - $(r, r')\in\mathbb{N}^2$
+ - $r \in [\![ 0; b[\![$ et $r'\in[\![0; b'[\![$
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