from github to this gitea

déterminant d'une matrice.md

@@ -0,0 +1,76 @@
+---
+sr-due: 2022-09-21
+sr-interval: 29
+sr-ease: 291
+alias: [ "déterminant" ]
+---
+
+up::[[matrice]]
+#maths/algèbre 
+
+---
+Soit $A$ une [[matrice]].
+On note $\det(A)$ le _déterminant_ d'une matrice.
+
+
+# Définition
+
+## Matrices de taille 2
+Soit $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$
+$\det A = ad - bc$
+
+## Matrices de taille 3
+
+### Méthode de Sarrus
+
+$$\begin{align}
+\det A &= \left|\begin{array}{cc}
+                 a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 
+                 a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
+                 a_{31}&a_{32}&a_{33}
+                 \end{array}\right|\\
+&= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{34} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} 
+\end{align}$$
+On peut retrouver les coefficients avec le shéma suivant :
+
+![[déterminant d'une matrice - méthode de Sarrus.excalidraw|100%]]
+
+
+### Méthode générale
+
+La méthode générale permet de calculer les déterminants de n'importe quelle matrice (carrée)
+Cette méthode se base sur une formule de récurrence : 
+
+ - On connaît le déterminant d'une matrice $2\times 2$
+ - Pour des matrices de taille plus grandes, on applique cette règle :
+     - Soit $A$ une matrice de dimension $n\times n$
+     - On note $A'_{i,j}$ la matrice obtenue en enlevant la ligne $i$ et la colonne $j$ de la matrice $A$
+     - On note $c_{i,j} = (-1)^{i+j}\times\det(A_{i,j})$
+     - On a alors :
+         - Développement par colonnes :  $\disp\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$ 
+         - Développement par lignes : $\disp\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$
+
+
+### Définition en APL
+```apl
+det ← {
+    2∧.=⍴⍵:-/×⌿(⌽@2)⍵  ⍝ déterminant d'une matrice 2x2
+    
+    ⍝ calculer le déterminant de ⍵
+    coeffs ← ,1↑[2]⍵  ⍝ première colonne de ⍵ (coefficients utilisés plus tard)
+    mat ← 1↓[2]⍵  ⍝ tout sauf la première colonne de ⍵ (développement selon la première colonne)
+    ⍝ il faut récupérer toutes les sous-matrices carrées de mat obtenues en enlevant une ligne de mat
+    nid ← ∘.≠⍨⍳≢⍵  ⍝ négation de la matrice identité de la taille de mat
+    ⍝ On masque les lignes de mat avec successivement chaque ligne de nid (on enlève à chaque fois une ligne)
+    submats ← ⌿∘mat¨↓nid ⍝ on obtient toutes les matrices sur lesquelles on doit faire la récursion
+    -/coeffs×∇¨submats ⍝ on obtient ici le déterminant
+}
+```
+
+
+
+# Propriétés
+ - Le déterminant d'une matrice possédant 2 lignes ou 2 colonnes proportionelles est **nul**
+ - La multiplication d'une ligne ou d'une colonne par un réel $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ 
+
+