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dérivation.md

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+alias: "dérivée"
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+up::[[analyse]]
+#maths/analyse
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+La dérivée d'une fonction $f$ est la fonction $f'$ telle que :
+
+$\displaystyle f'(a) = \lim_{h\rightarrow0}\left( \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \right)$
+
+C'est le [[coefficient directeur]] de la [[tangente à une courbe|tangente à la courbe]] en chaque point.
+
+
+# Notation
+Soit $f$ une fonction.
+On note $f'$ la *dérivée* de $f$.
+On note $f''$ la *dérivée seconde* de $f$, c'est à dire la dérivée de $f'$.
+
+## Dérivées successives
+On note :
+ - $f^{(0)}=f$
+ - $f^{(1)}=f'$
+ - $f^{(2)}=f''$
+ - $\vdots$
+ - $f^{(n)}=(f^{(n-1)})'$
+
+# Méthodes de dérivation
+
+On peut utiliser les dérivées des fonctions usuelles :
+
+## Dérivées d'expressions
+$$\begin{array}{|r|l|}
+\hline
+\text{expression} & \text{dérivée}\\\hline
+x^n & nx^{n-1}\\\hline
+sin(x) & cos(x)\\\hline
+cos(x) & -sin(x)\\\hline
+\arcsin' x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\\hline
+\arccos' x & -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\\hline
+\tan x & \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} = 1 + \tan^{2}(x)\\\hline
+\tan x & \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} \\\hline
+\arctan x & \dfrac1{1+x^2}\\\hline
+\mathrm{sh}(x) & \mathrm{ch}(x) \\\hline
+\mathrm{ch}(x) & \mathrm{sh}(x)\\\hline
+\arg\mathrm{sh}'(x) & \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\\hline
+\arg\mathrm{ch}'(x) & -\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\\hline
+\mathrm{th}(x) & \dfrac{1}{\mathrm{ch}^{2}(x)} = 1 - \mathrm{th}^2(x)\\\hline
+\end{array}$$
+
+
+## Dérivées de fonctions
+$$\begin{array}{|r|l|}\hline
+\text{expression} & \text{dérivée}\\\hline
+u \times v & u'v + uv'\\\hline
+\dfrac uv & \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\\\hline
+e^u & u'\cdot e^u\\\hline
+\ln u & \dfrac{u'}{u}\\\hline
+\ln |u| & \dfrac{u'}{u}\\\hline
+u^n & nu'\cdot u^{n-1}\\\hline
+g\circ f & f' \times g'\circ f\\\hline
+(f^{-1})' & \dfrac1{f'\circ f^{-1}}\\\hline
+\end{array}$$
+
+
+# Formules générales
+## Formule de Leibniz
+Dériver $n$ fois un produit de fonctions :
+$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} \right)$$
+
+
+# Notion de [[fonction dérivable]]
+Une fonction est dérivable sur un intervalle si sa dérivée existe sur cet intervalle
+
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