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démonstration par réccurence somme des carrés.md

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+up::[[somme des carrés]]
+title::"démonstration de $\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$"
+#maths #démonstration 
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+# Initialisation
+On définit la propriété $\mathscr{P}$ 
+$\mathscr{P}_{n} : \sum\limits_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
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+$\begin{align}\mathscr{P}_{1} :& 1^{2} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6}\\ &1 = 1\end{align}$
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+Donc, $\mathscr{P}_{1}$ est vraie et $\mathscr{P}$ est initialisée.
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+# Hérédité
+On cherche à montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \mathscr{P}_{n} \implies \mathscr{P}_{n+1}$
+
+Pour cela, on suppose $\mathscr{P}_{n}$ vraie pour un $n$ fixé.
+On cherche alors à montrer $\mathscr{P}_{n+1}$.
+
+$$ \begin{align} \mathscr{P}_{n} &\iff \sum\limits_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
+&\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2} \\
+&\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6} \\
+&\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{(n+1) \left(  n(2n+1)+6(n+1) \right)}{6} \\
+&\iff \sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{2} = \frac{(N)(2n^{2}+7n+6)}{6} \\
+&\iff \sum\limits_{k=1}^{n} k^{2} = 
+\end{align}$$
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