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courbe paramétrée.md

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+sr-due: 2022-09-15
+sr-interval: 32
+sr-ease: 305
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+up::[[analyse]]
+#maths/analyse
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+# Définition
+Une _courbe paramétrée plane_ est une [[application]] d'un sous-ensemble $D$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^{2}$
+$$\begin{align*}
+f &: D\subset \mathbb{R} \rightarrow R^2\\
+& t \mapsto f(t)
+\end{align*}$$
+
+ - application qui, à un réel $t$ (le **paramètre**) associe un _point_ du plan
+
+ - On peut aussi écrire que $t \mapsto \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}$
+ - Si on identifie $\mathbb{R}^2$ à $\mathbb{C}$, on à $t\mapsto x(t)+i \cdot y(t)$
+     - On associe alors un nombre à un point du [[plan complexe]]
+
+**Note :** malgré le nom de _courbe_ paramétrée, c'est bien une [[application]]
+ - on remarque notamment que l'on à une information en plus de l'ensemble des points : l'ordre de parcours
+
+# Notation
+On écrit souvent les équations paramétriques de la manière suivante :
+$$\left\{\begin{gathered}
+x(t)=3\ln(t)\\
+y(t)=2t^{2}+1
+\end{gathered} \right., t\in D$$
+ - $x$ et $y$ sont des fonctions de $D$ dans $\mathbb{R}$
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+On écrit également :
+$z(t)=e^{it}, t\in D$
+ - $z$ est une fonction de $D$ dans $\mathbb{C}$
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+# Exemples
+ - $t\mapsto (\cos(t); \sin(t)), t\in[0;2\pi[$ paramétrisation du [[cercle trigonométrique]]
+ - $t\mapsto(2t-3; 3t+1), t\in R$  paramétrisation de la droite passant par le point $A(-3, 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2, 3)$
+ - $\lambda\mapsto\left((1-\lambda)x_{A}+\lambda x_{B}; (1-\lambda)y_{A} + \lambda y_{B}\right)$  paramétrisation du segment $[AB]$
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+# Propriétés
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+ - [[Support d'une courbe paramétrée]]
+ - [[multiplicité d'un point d'une courbe paramétrée]]
+
+## Représentation des fonctions
+Si $f$ est une fonction de $D$ vers $\mathbb{R}$, on peut paramétriser le graphe de $f$.
+On peut donc "_traduire_" $y=f(x)$ sous forme paramétrique :
+$$\left\{\begin{gathered}
+x(t)=t\\
+y(t)=f(t)
+\end{gathered}\right.$$
+
+> [!query]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
+> ```breadcrumbs
+> title: false
+> type: tree
+> dir: down
+> ```
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