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classe d'une fonction.md

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+alias: "classe"
+---
+up::[[dérivées successives]]
+#maths/analyse 
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+voir [[dérivées successives]].
+
+Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
+Soit $n\in\mathbb N$, $f$ est de classe $C^n$ ssi :
+ - $f$ est [[fonction dérivable|dérivable]] $n$ fois sur $I$
+ - $f^{(n)}$ est [[fonction continue|continue]] sur $I$.
+
+On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ ssi :
+ - $\forall n\in\mathbb n, f^{(n)}$ existe sur $I$ (soit : $f$ est de classe $C^n$ pour tout $n$)
+ - $\displaystyle C^\infty = \bigcap_{n>0}C^n$
+
+
+# Notation
+On note:
+ - $C^n(I)$ l'ensemble des fonctions de classe $C^n$ sur $I$
+ - $\displaystyle C^\infty(I) = \cap_{n\in\mathbb N}C^n(I)$  l'ensemble des fonctions dérivables une infinité de fois
+
+## Remarque
+
+On peut utiliser $C^{0}$ pour désigner les fonctions continues.