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+---
+sr-due: 2022-09-05
+sr-interval: 15
+sr-ease: 286
+alias: ["applications linéaires", "linéaire", "linéaires"]
+---
+up::[[application]]
+sibling::[[combinaison linéaire]]
+title::"$f(\lambda u+v) = \lambda f(u) + f(v)$"
+#maths/algèbre
+
+---
+Soient $f$ une [[application]], et $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels,
+$f: E \mapsto F$ est _linéaire_ ssi :
+$\forall(u,v)\in E^{2}, \forall\lambda\in\mathbb{R},\;\;\; f(u+v) = f(u) + f(v) \;\;\wedge\;\; f(\lambda u) = \lambda f(u)$
+
+> [!definition] Application linéaire
+> Soient $E$ et $F$ deux $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]]
+> Soit $f: E \to F$ une [[application]]
+> $f$ est *linéaire* ssi :
+>  - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad f(u+v) = f(u) + f(v)\quad$ ([[application additive|additivité]])
+>  - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad f(\lambda u) = \lambda f(u) \quad$ ([[application homogène|homogénéité]]) 
+^definition
+
+
+# Autres définitions
+Soient $f$ une [[application]], et $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels,
+Une application $f: E \mapsto F$ est _linéaire_ ssi :
+$\forall (u, v)\in E^{2}, \forall\lambda\in\mathbb{R}, \quad f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$
+
+Une [[application]] $f$ est _linéaire_ ssi ses [[composition de fonctions|composées]] à gauche et à droite avec toute [[combinaison linéaire]] sont égales, soit si appliquer $f$ avant ou après une [[combinaison linéaire]]  des vecteurs donne le même résultat
+
+
+# Exemples
+
+L'application $\begin{aligned} Id: & E\mapsto E\\ & u \mapsto u \end{aligned}$ est une _application linéaire_
+
+L'application $$\begin{aligned}
+f: & \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}\\
+   & \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}
+     \mapsto
+     \begin{pmatrix}
+         x + y\\
+         x - y\\
+         2x + 3y
+     \end{pmatrix}
+\end{aligned}$$
+
+# Propriétés
+
+Soient $E$ et $F$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] réels de dimension finie, et $f: E\rightarrow F$ une _application linéaire_, alors :
+
+  - $\dim \ker f + \dim \mathrm{Im} f = \dim E$ ([[théorème du rang]])
+      - $\dim$ la [[dimension d'un espace vectoriel]]
+      - $\ker$ le [[Noyau d'une application linéaire]]
+      - $\mathrm{Im}$ l'[[image d'une application linéaire]]
+  - Lorsque $E = F$, $f$ est un [[endomorphisme]] de $E$ (un [[endomorphisme linéaire]])
+      - alors $f$ est [[injection|injective]]
+      - alors $\ker f = \{0_E\}$
+      - alors $\dim\ker f = 0$
+      - alors $\dim\mathrm{Im} f = \dim E$ (grâce au [[théorème du rang]])
+      - alors $\mathrm{Im} f = E$
+      - alors $f$ est [[surjection|surjective]]
+      - D'où : si $f$ est un [[endomorphisme]] de $E$, $f$ est une [[bijection]]
+
+
+> [!query] Sous-notes de `=this.file.link`
+> ```dataview
+> LIST title
+> FROM -#cours AND -#exercice AND -"daily" AND -#excalidraw AND -#MOC
+> WHERE any(map([up, up.up, up.up.up, up.up.up.up], (x) => econtains(x, this.file.link)))
+> WHERE file != this.file
+> SORT up!=this.file.link, up.up.up.up, up.up.up, up.up, up
+> ```