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anneau Z.md

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+alias: [ "anneau ℤ" ]
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+up::[[MOC arithmétique]], [[anneau]] 
+title:: "$(\mathbb{Z}, +, \cdot, \leq)$ est un anneau [[relation d'ordre totale|totalement ordonné]]"
+#maths/arithmétique #maths/algèbre 
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+> [!definition] Anneau $\mathbb{Z}$
+> $\mathbb{Z}$ muni de $+$, $\cdot$ est un anneau [[relation d'ordre totale|totalement ordonné]] par la relation $\leq$
+> On le note $(\mathbb{Z}, +, \cdot, \leq)$
+^definition
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+# Propriétés
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+ - $\leq$ fonctionne comme une relation d'ordre sur $\mathbb{Z}$
+     - $\forall (a, b, c) \in \mathbb{Z}^{3}, \quad a \leq b \implies a+c \leq b+c$
+     - $\forall (a, b, c) \in \mathbb{Z}^{3}, ( a\leq b \,\wedge\, c>0) \implies ac \leq bc$
+ - La [[valeur absolue]] sur $\mathbb{Z}$ a les propriétés classiques
+     - $\forall z \in \mathbb{Z}, \quad |z|\geq 0 \quad \text{ et } \quad |z| = 0 \iff z = 0$
+     - $\forall (z, z')\in\mathbb{Z}^{2}, \quad \big| |z| - |z'| \big| \,\leq\, \big| z+z' \big| \,\leq\, |z| + |z'|$
+     - $\forall (z, z')\in\mathbb{Z}^{2}, \quad |zz'| = |z| \cdot|z|$
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+ - La [[division euclidienne]] est définie et son résultat unique sur $\mathbb{Z}$