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algorithme d'Euclide inverse.md

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+up::[[pgcd]]
+sibling:: [[algorithme d'euclide]] 
+title:: "pour trouver des [[coefficients de Bézout]]"
+#maths/arithmétique 
+
+---
+
+Soit l'équation $13x + 9y = 108$
+ - l'équation est déjà simplifiée
+
+On calcule $\mathrm{pgcd}(13; 9)$ avec l'[[algorithme d'euclide]] :
+$\color{orange}13 = 1\times 9 + 4$
+$\color{green}9 = 2 \times 4 + 1$
+$4 = 4 \times 1 + 0$ --> Donc $pgcd(13; 9) = 1$
+
+On cherche à trouver une solution particulière à l'équation.
+Pour cela, on part de l'avant dernière ligne de l'[[algorithme d'euclide]] :
+$9 = 2\times 4 + \underbrace{1}_{\text{reste}}$
+On sait que le reste divise 108 (car si $\mathrm{pgcd}(a, b) \not\mid c$, $ax+by=c$ n'a aucune solution)
+On pose :
+$1 = 9 - 2\times 4$ (car on à vu que $\color{green}9=2\times 4+1$)
+$108 = 108\times 9 - 2\times 108 \times 4$
+on remplace $4$ par $13 - 9$ (car on à vu que $\color{orange}13 = 1\times 9 + 4$)
+$108 = 108 \times 9 - 216 \times (13 - 9)$
+on regroupe les termes multiples de $13$ et de $9$ (nos coefficients) 
+$108 = -216\times 13 + 324\times 9$
+on remplace $108$ par $13x + 9y$ (car on veut $13x+9y = 108$)
+$13x + 9y = -216\times 13 + 324\times 9$
+on regrouppe les facteurs de $13$ et de $9$ :
+$13(x+216) = 9(324 - y)$
+On a donc $13(x+216) \mid 9(324 - y) \implies 13 \mid 9(324 - y)$
+Puisque $13$ et 9 sont premiers entre eux, on a $13\mid 324-y$
+donc :
+$\exists k \in \mathbb{Z}, 324 - y = 13k$
+$y = -13k + 324$
+Ensuite, puisque $13(x+216) = 9(324 - y)$, on peut trouver $x$ :
+$13(x+216) = 9 \times 13k$
+$x+216 = 9k$ (on simplifie par $13$)
+$x = 9k - 216$
+Donc, les solutions sont de la forme :
+$\begin{cases}x = 9k - 216\\ y = -13k + 324\end{cases}$
+les solutions sont :
+$S = \{ (9k - 216; -13k+324) \mid k \in \mathbb{Z} \}$
+