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ZF démonstration du principe de récurrence.md

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+up::[[axiomes Zemerlo Frankel]]
+title::"preuve que $P(0) \wedge \forall n, P(n) \implies P(n+1)$"
+#maths #maths/logique #démonstration
+
+----
+On cherche à montrer le [[principe de récurrence]] :
+![[principe de récurrence#^definition]]
+
+Soit $P(x)$ un proposition.
+Supposons que $P(0)$ et que $\forall x, P(x) \implies P(x+1)$
+
+Soit $F = \{ x\mid P(x) \}$
+
+$F$ est héréditaire par définition
+Par l'axiome de l'infini, il contient $\mathbb{N}$
+
+Donc, $P(x)$ est vraie pour tout $x \in \mathbb{N}$
+