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166
DM maths matrices.md
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166
DM maths matrices.md
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@@ -0,0 +1,166 @@
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difficulty: 6
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due: 2023-02-03
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up:: [[devoirs]]
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title::
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link:: [[L2_info_matrices_ex_0.pdf]]
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#devoir-fait
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# Exercice 0.9
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## 1.
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1. Donner les racines réelles des polynômes suivants et les factoriser :
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$P(X) = X^{2}+X-6$
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$Q(X) = X^{2}-8X+16$
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$R(X)=X^{2}+2X+2$
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### Racines de $P$
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$P(X) = X^{2}+X-6$
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Une racine évidente de $P(X)$ est $2$ : $P(2) = 2^{2}+2-6 = 0$.
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On fait la division de polynômes :
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$$
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\begin{array}{ccc|l}
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X^{2} &+ X &- 6 & X-2 \\
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\hline
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-(X^{2} &- 2X)&&X + 3\\
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&3X&-6& \\
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&-(3X&-6)& \\
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&&0
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\end{array}
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$$
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Donc, $P(X) = (X-2)(3X-6) = 3(X-2)(X-3)$, et donc les racines de $P$ sont $2$ et $3$.
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### Racines de $Q$
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$Q(X) = X^{2}-8X+16$
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$\Delta = 8^{2}-4\times 16 = 0$, donc $Q$ admet une seule racine.
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On remarque que $4$ est une racine évidente, $Q(4)=0$. Comme $\Delta = 0$, on sait que $4$ est une racine de multiplicité $2$.
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### Racines de $R$
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$R(X)=X^{2}+2X+2$
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$\Delta = 2^{2}-4\times 2 = -4 < 0$, donc $R$ n'admet aucune racine réelle.
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## 2.
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2. Factoriser le polynôme
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$P(X) = X^{4}-2X^{3}+X = X(X^{3}-2X^{2}+1)$
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On voit qu'une racine évidente de $P$ est $1$, car $(1)^{3}-2(1)^{2}+1 =0$. Donc, $X^{3}-2X^{2}+1$ est divisible par $X-1$
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$$
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\begin{array}{cccc|l}
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X^{3} & -2X^{2} & & +1 & X-1 \\
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\hline
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-(X^{3}&-X^{2})&&&X^{2}-X-1 \\
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&-X^{2}&&+1 \\
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&-(-X^{2}&+X)&& \\
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&&-X&+1& \\
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&&-(-X&+1)& \\
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&&&0
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\end{array}
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$$
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Donc, $P(X) = X(X-1)(X^{2}-X-1)$
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On cherche à factoriser $X^{2}-X-1$
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$\Delta = 1^{2} - 4\times 1\times (-1) = 5$
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Donc : $X^{2} - X - 1 = \left( X - \frac{1-\sqrt{ 5 }}{2} \right) \left( X - \frac{1+\sqrt{ 5 }}{2} \right)$
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Si on note $\varphi = \frac{1+\sqrt{ 5 }}{2}$ et $\varphi' = \frac{1-\sqrt{ 5 }}{2}$, on obtient :
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$\boxed{P(X) = X(X - 1)(X - \varphi)(X-\varphi')}$
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## 2.
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On considère le polynôme $P(X) = X^5 − X^4 − X^3 − X^2 + 4X − 2$.
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Montrer que 1 est racine triple de P. En déduire une factorisation de P.
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### $1$ est racine triple de $P$
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$P(1) = (1)^{5} - (1)^{4} - (1)^{3} - (1)^{2}+4(1) - 2 = -2 + 4 - 2 = 0$, donc $1$ est racine de $P$
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$P'(X) = 5X^{4} - 4X^{3} - 3X^{2}-2X+4$
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$P'(1) = 5 - 4 - 3 - 2 + 4 = 0$, donc $1$ est au moins racine double de $P$
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$P''(X) = 20X^{3} - 12X^{2} - 5X - 2$
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$P''(1) = 20 - 12 - 6 - 2 = 0$, donc $1$ est au moins racine triple de $P$
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$P^{(3)}(X) = 60X^{2} - 24X - 5$
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$P^{(3)}(1) = 60 - 24 - 5 = 31 \neq 0$, donc $1$ n'est pas racine de multiplicité $4$.
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$1$ est bien une racine de multiplicité $3$ de $P$. On en déduit que $P$ est divisible par $(X-1)^{3} = X^{3} - 3X^{2} + 3X - 1$
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$$
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\begin{array}{cccccc|l}
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X^{5}&-X^{4}&-X^{3}&-X^{2}&+4X&-2 & X^{3} - 3X^{2} + 3X - 1 \\
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\hline
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-(X^{5}&-3X^{4}&+3X^{3}&-X^{2})&&&X^{2} + 2X + 2\\
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&2X^{4}&-4X^{3}&&+4X&-2& \\
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&-(2X^{4}&-6X^{3}&+6X^{2}&-2X) & \\
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&&2X^{3}&-6X^{2}&+6X&-2 \\
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&&-(2X^{3}&-6X^{2}&+6X&-2)& \\
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&&&&&0
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\end{array}
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$$
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Donc, $P(x) = (X - 1)^{3}(X^{2}+3X+2)$
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On cherche à factoriser $X^{2}+3X+2$
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$\Delta = 3^{2}-4\times 2 = 1 > 0$, donc :
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$X^{2} + 3X + 2 = \left( X - \frac{-3-\sqrt{ 1 }}{2} \right)\left( X - \frac{-3+\sqrt{ 1 }}{2} \right) = (X + 2)(X + 1)$
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Donc, on a :
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$\boxed{P(X) = (X-1)^{3}(X+1)(X+2)}$
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# Exercice 0.10
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Soit $f$ l'application linéaire de $\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$ définie par :
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$f(x_1; x_2; x_3) = (x_1-x_3; 2x_1+x_2-3x_3; -x_2-2x_3)$
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$f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}x_1-x_3\\2x_1+x_2-3x_3\\-x_2-2x_3\end{pmatrix}$
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Soit $(e_1; e_2; e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^{3}$.
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## 1.
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1. calculer $f(e_1)$, $f(e_2)$ et $f(e_3)$
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$f(e_1) = (1 - 0; 2 + 0 - 0; -0-0) = (1; 2; 0)$
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$f(e_2) = (0; 1; -1)$
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$f(e_3) = (-1; -3; -2)$
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On sait alors que la représentation matricielle de $f$ dans la base canonique est :
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$[f]_{(e_1; e_2; e_3)} = (f(e_1), f(e_2), f(e_3)) = \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 2&1&-3\\ 0&-1&-2\end{pmatrix}$
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# Réglages
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A rendre pour le
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```meta-bind
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INPUT[date:due]
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```
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Difficulté :
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```meta-bind
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INPUT[slider(minValue(0), maxValue(10)):difficulty]
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```
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Reference in New Issue
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