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équation linéaire à 2 variables entières.md

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+up::[[équation diophantienne]]
+title::"$ax+by=c \qquad (a, b, c)\in\mathbb{Z}^{3}$"
+#maths/arithmétique
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+> [!definition] Equation linéaire à 2 variables entières
+> Ue équation linéaire à deux variables entières est une équation de la forme :
+> $(E) : ax+by = c$
+> où $(a, b, c)\in\mathbb{Z}^3$
+^definition
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+# Propriétés
+ - L'équation $(E)$ possède des solutions $(x, y)\in\mathbb{Z}^2$ **si et seulement si $\mathrm{pgcd}(a,b)|c$**
+     - voir : [[pgcd]] et [[divisibilité]]
+     - conséquence du [[théorème de Bézout]]
+ - Si $\mathrm{pgcd}(a; b)|c$ alors il existe une **infinité** de solutions entières
+ - Si il existe des solutions, elles sont **exactement** les couples $(x, y)$ dans $\{(x_0+\alpha k, y_0+\beta k) | k\in\mathbb{Z}\}$ avec $(x_0,y_0,\alpha,\beta)\in\mathbb{Z}^4$
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+# Trouver des solutions
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+On utilise l'[[algorithme d'Euclide inverse]] pour trouver des [[coefficients de Bézout]]
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