eduroam-prg-sg-1-45-234.net.univ-paris-diderot.fr 2025-9-23:14:50:53

filtre.md

@@ -12,7 +12,7 @@ aliases:
 >  2. Si $A, B \in \mathscr{F}$ alors $A \cap B \in \mathscr{F}$ (stabilité par intersection)
 >  3. Si $A \in \mathscr{F}$ et $A \subseteq B$ alors $B \in \mathscr{F}$ (stabilité par ?)
 >     
-> Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse :
+> Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse pour exclure le filtre trivial :
 >  - $\emptyset \notin \mathscr{F}$ (le filtre est non trivial)
 ^definition
 
@@ -20,7 +20,7 @@ aliases:
 
 > [!proposition]+ Filtre trivial
 > $\mathscr{F} = \mathcal{P}(X)$ est le **filtre trivial** sur $X$
->  - i cela est rendu impossible si on admet $\emptyset \in \mathscr{F}$
+>  - i cela est rendu impossible si on admet $\emptyset \in \mathscr{F}$, ce que l'on fait généralement
 ^filtre-trivial
 
 > [!proposition]+ Relation d'ordre sur les filtres
@@ -30,9 +30,30 @@ aliases:
 # Exemples
 
 ## 1 - [[filtre de fréchet]]
-## 2 - ?
+## 2 - voisinages
 
 Soit $X$ un [[structure de topologie|espace topologique]] (par exemple $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ou bien un [[espace métrique]])
-$\mathscr{F}_{x} = \{ \text{voisinage de } x \}$ est un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]]
+$\mathscr{F}_{x} = \{ V \in \mathcal{P}(X) \mid V  \text{ est un voisinage de } x \}$ est un filtre non-[[filtre#^filtre-trivial|trivial]]
 
 - i $V$ est voisinage de $x$ $\iff \begin{cases} \exists \varepsilon > 0,\quad B(x, \varepsilon) \subseteq V \end{cases}$
+
+0. $V$ voisinage de $x$ $\implies$ $x \in V \implies v \neq \emptyset$
+1. $X$ est voisinage de $x$
+2. soient $V_1, V_2$ voisinages de $X$, alors $B(x, \varepsilon_1) \subseteq V_1$ et $B(x, \varepsilon_2) \subseteq V_2$ et donc $B(x, \min(\varepsilon_1, \varepsilon_2)) \subseteq V_1 \cap V_2$ donc $V_1 \cap V_2$ est bien un voisinage de $X$ d'où il suit que $V_1 \cap V_2 \in \mathscr{F}_{x}$
+
+## 3 - voisinages dans $\mathbb{R}$
+Soit le filtre $\mathscr{F}_{+\infty}$ défini par :
+ - def $V \in \mathscr{F}_{+\infty}$ s'il existe $R \in \mathbb{R}$ tel que $]R, +\infty[ \subseteq V$
+
+## ensemble ordonné filtrant
+c'est-à-dire que toute partie finie est ordonnée
+c'est-à-dire  : $\begin{cases} X \neq \emptyset \\ \text{pour } a, b \in X,\quad \text{ il existe } c \in X \text{ tel que  } a \leq b \text{ et } b \leq c\end{cases}$
+
+Soit $X_{a} = \{ x \in X \mid a \leq x \}$
+on définit le filtre $\mathscr{F}$ par :
+ - def $V \in \mathscr{F}$ ssi il existe $a \in X$ tq $V \supseteq X_{a}$
+
+> [!example] Exemples
+>  - ensembles non vides totalement ordonnés
+>  - $\mathbb{N}$ muni de la divisibilité
+>  - $\mathcal{P}_{f}(S)$ les partifinies d'un ensemble