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désintégration audioactive.md

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+# Introduction
 
 La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers strictement positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
 
@@ -39,6 +40,8 @@ Son principe est assez simple : étant donné un nombre, on produit le suivant e
 
 La règle définissant la suite peut alors être notée : $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
 
+Dans ce document, nous démontreront certaines propriétés de cette suite. La complexité de quelques unes d'entre elles, comparée à la simplicité de la définition, consitue un exemple.
+
 # Notations
  - Comme les éléments de la suite sont plutôt des suites finies de chiffres que des nombres uniques, on appellera **chaine** un terme de la suite.
  - On assimilera toujours les éléments d'une chaine à des chiffres strictement positifs. Le théorème du jour 2 explicitera pourquoi $0$ et les nombres supérieurs à 10 n'ont pas d'intérêt particulier.
@@ -492,16 +495,14 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
 > >     Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium (la chaîne $\color{crimson}12$ notée $\ce{Ca}$ et indiquée en <span style="color: crimson">rouge</span>) dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium.
 > >     La propriété 2. permet de conclure.
 
-
 > [!definition] Chaine commune
 > Une **chaine commune** est une chaine exclusivement composée d'éléments.
 
-
 > [!proposition]+ Théorème arithmétique
 > 1. Les longueurs de toutes les chaines communes (autres que les cas triviaux $[\;]$ et $[22]$) augmentent selon une progression géométrique, avec une même raison $\lambda > 1$.
 > 2. Les abondances relatives des éléments dans ces chaines convergent vers une valeur fixe, strictement positive pour tous les éléments.
 >
-> > [!démonstration]+ Démonstration
+> > [!démonstration]- Démonstration
 > > On note $\operatorname{lg}[L]$ la *longueur* d'une chaine (son nombre de chiffres) et $\operatorname{ne}[L]$  le *nombre d'éléments* (en comptant les doublons) contenus dans une chaine $L$.
 > > Par exemple, $\operatorname{lg}[3223] = 4$ et $\operatorname{ne}[3223] = \operatorname{ne}[\ce{U \cdot H  \cdot U}] = 3$.
 > > Comme tous les éléments ont une comprise entre $1$ et $42$, on peut assimiler la longueur au nombre d'éléments dans le calcul de $\lambda$. Formellement, si $L_0$ est une chaine commune :
@@ -532,10 +533,12 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
 > >     Il est évident que $\lambda > 1$ par définition de la suite.
 > >     Cela montre la propriété recherchée.
 
-
-> [!proposition]+ Calcul de la valeur de $\lambda$
-> L'annexe 1 fournit le code permettant (entre autres) une approximation de $\lambda$.
-> Il est évident que $\lambda$ est un nombre algébrique de degré $92$.
+> [!proposition]+ Valeur de $\lambda$ et croissance de la suite
+> L'annexe 1 fournit le code permettant de calculer une approximation de $\lambda$.
+> L'approximation obtenue est $\lambda \approx  1.3035772690343037$
+> Il est évident que $\lambda$ est un nombre algébrique de degré $92$. Il se trouve qu'il est même de degré 71 [voir @OpenProblemsCommunication1987 p.188].
+> --- 
+> Puisque la longueur $lg[L_{n}]$ et la valeur de $L_{n}$ en tant que nombre sont reliés par un encadrement logarithmique : $\operatorname{lg}[L_{n}] \leq \log_{10}(L_{n}) < \operatorname{lg}[L_{n}] + 1$, on peut en déduire assez directement que $L_{n} = O(10^{(\lambda^{n})})$
 
 > [!proposition]+ Théorème cosmologique
 > Toute chaine (autre que $[\;]$ et $[22]$) finit, après assez de dérivations, par engendrer des chaines communes. Cela permet d'appliquer le théorème chimique à toutes les chaines.
@@ -680,31 +683,11 @@ print("┏", "━"*92, "┓\n┃",
 eigvals = np.linalg.eigvals(matrix)
 λ = eigvals[np.argmax(np.abs(eigvals))]
 print(f"λ = {np.real(λ)} + {np.imag(λ)}𝑖")
-
-############################################################
-# CALCUL DE LA PLUS PETITE BORNE POUR LE THÉORÈME CHIMIQUE #
-############################################################
-def nb_derivations_engendre_tous_les_elements(elt_num: int):
-    """compte le nombre de dérivations nécessaires pour que l'élément numéro elt_num engendre tous
-    les autres"""
-    counts = np.zeros((92,))
-    counts[elt_num-1] = 1
-    derivations_count = 0
-    while np.min(counts) == 0:
-        counts = counts @ matrix
-        derivations_count += 1
-    return derivations_count
-
-
-min_steps_required = 0
-for elt_num in range(2, 93):
-    min_steps_required = max(min_steps_required,
-                             nb_derivations_engendre_tous_les_elements(elt_num))
-print("Borne pour le théorème chimique :", min_steps_required)
 ```
 
+
 # Bibliographie
 
-Lairez, P., & Storozhenko, A. (2025). Conway’s cosmological theorem and automata theory. _The American Mathematical Monthly_, _132_(9), 867–882. [https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225](https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225)
+Cover, T. M., & Gopinath, B. (1987). _Open problems in communication and computation_. Springer-Verlag.
 Ekhad, S. B., & Zeilberger, D. (n.d.). _Proof of Conway’s lost cosmological theorem_. Retrieved [https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf](https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/horton.pdf)
-
+Lairez, P., & Storozhenko, A. (2025). Conway’s cosmological theorem and automata theory. _The American Mathematical Monthly_, _132_(9), 867–882. [https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225](https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2549225)