eduroam-prg-og-1-28-168.net.univ-paris-diderot.fr 2026-1-19:12:22:52

espace topologique.md

@@ -14,5 +14,18 @@ aliases:
 
 # Propriétés
 
+> [!proposition]+ 
+> Un sous-ensemble $U$ d'un espace topologique est un ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Dans un espace topologique $X$
+> >  - $\implies$ Soit $U$ ouvert
+> >    $\forall x \in U,\quad x \in \underbracket{U}_{\tiny\text{ouvert}} \subseteq U$
+> >    Donc $U$ est voisinage de chacun de ses points
+> >  - $\impliedby$ Soit $V$ un sous ensemble de $X$ qui est voisinage de chacun de ses points.
+> >    $\forall x \in V,\quad \exists U_{x} \text{ ouvert},\quad x \in U_{x} \subseteq V$
+> >    $\displaystyle \bigcup _{x \in V}U_{x} \subseteq$ et $\displaystyle V = \bigcup _{x \in V} \{ x \} \subseteq \bigcup _{x \in V}U_{x}$
+> >    D'où $V = \underbrace{\bigcup _{x \in V} U_{x}}_{\small\substack{\text{union d'ouverts}\\\text{donc ouvert}}}$
+
 # Exemples
 

voisinage.md

@@ -14,6 +14,11 @@ tags:
 > On note $\mathcal{V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$.
 ^definition
 
+> [!definition] autre définition
+> Soit $X$ un espace topologique et $x \in X$
+> Un **voisinage de $x$ dans $X$** est un sous ensemble $V$ de $X$ contenant un ouvert contenant x :
+> $\exists U \text{ ouvert de } X,\quad x \in U \subseteq V$
+
 # Propriétés
 
 > [!proposition]+