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intérieur d'un espace métrique.md

@@ -3,6 +3,7 @@ aliases:
   - intérieur
 ---
 up:: [[espace métrique]]
+sibling:: [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
 #maths/topologie 
 
 > [!definition] [[intérieur d'un espace métrique]]
@@ -11,9 +12,10 @@ up:: [[espace métrique]]
 > On l'appelle **intérieur** de $A$
 ^definition
 
+
 # Propriétés
 
-> [!proposition] Existance et unicité
+> [!proposition]+ Existance et unicité
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$
 > $\mathring{A}$ l'intérieur de $A$ existe et est unique.
 > > [!démonstration]- Démonstration
@@ -21,9 +23,10 @@ up:: [[espace métrique]]
 > > Donc $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
 > > On peut toujours trouver un $V$ ouvert tel que $V \subset A$, car $A$ est un tel ouvert
 
-> [!proposition] Autre définition
-> - $\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
+> [!proposition]+ Autre définition
+>$\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
 > 
+>  ![[intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw]]
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > On possède par double inclusion.
 > > Si $x \in \mathring{A}$, comme $\mathring{A}$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset \mathring{A}$ et, comme $\mathring{A} \subset A$, on a donc $B(x, r) \subset A$
@@ -35,7 +38,7 @@ up:: [[espace métrique]]
 > > donc $x \in \mathring{A}$
 > > Ce qui montre $\mathring{A} = \{  x \in A \mid \exists r>0,\quad B(x, r) \subset A \}$
 
-> [!proposition] Lien avec l'[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
+> [!proposition]+ Lien avec l'[[adhérence d'un espace métrique|adhérence]]
 > Sur l'[[espace métrique]] $(X, d)$ :
 > - $\mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)$ c'est-à-dire que $\mathring{A}$  est le complémentaire de l'intérieur de $X \setminus A$
 > - $\bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}$
@@ -53,8 +56,21 @@ up:: [[espace métrique]]
 > > On a donc bien $X \setminus \mathring{A} = \overline{X \setminus A}$
 > > L'autre formule $X \setminus \overline{B} = \mathring{\overparen{X \setminus B}}$  s'en déduit, en prenant $B = X \setminus A$
 
-> [!proposition] Lien avec l'[[partie ouverte d'un espace métrique|ouverture]]
+> [!proposition]+ Lien avec l'[[partie ouverte d'un espace métrique|ouverture]]
 > $A$ est ouvert $\iff$ $A = \mathring{A}$
 
+> [!proposition]+ Proposition
+> 
+
 # Exemples
 
+
+> [!example] $\mathbb{Q}$ est d'intérieur vide dans $\mathbb{R}$
+> Soit $x \in \mathbb{Q}$, on veut voir que $\forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}$
+> Prenons $x_{n}= x + \frac{\sqrt{ 2 }}{n}$
+> Comme $x \in \mathbb{Q}$, on a $x_{n} \notin \mathbb{Q}$, mais $x_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} x$
+> S'il existant $r>0,\quad B(x, r) \subset \mathbb{Q}$ on aurait, si $n$ assez grand, $x_{n} \in B(x, r)$, donc $x_{n} \in \mathbb{Q}$
+> C'est absurde, donc $\forall r > 0,\quad B(x, r) \not\subset \mathbb{Q}$.
+> Alors, on sait que $\mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset$
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