update

groupe monogène.md

@@ -0,0 +1,47 @@
+---
+aliases:
+  - monogène
+---
+up:: [[sous groupe engendré]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] [[groupe monogène]]
+> On dit qu'un groupe $G$ est **monogène** s'il est engendré par un élément :
+> $\exists g \in G,\quad G = \left\langle G \right\rangle$
+^definition
+
+# Propriétés
+> [!proposition]+ Proposition
+> si $G = \left\langle g \right\rangle$ est monogène, alors $G = \{ g^{n} \mid n \in \mathbb{Z} \}$
+> - ! Il peut y avoir des répétitions : on peut avoir $n \neq m$ mais $g^{n} = g^{m}$
+
+> [!proposition]+ monogène $\implies$ [[commutativité|commutatif]]
+> Tout groupe monogène est [[commutativité|commutatif]].
+> - I vient du fait qu'un groupe homogène est composé seulement de puissances d'un même élément
+>
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Si $G = \left\langle x \right\rangle$, alors pour $g, h \in G$ on a :
+> > si $a, b \in \mathbb{Z}$ sont tels que $g = x^{a}$ et $h = x^{b}$
+> > alors $gh = x^{a}x^{b} = x^{a+b} = x^{b+a} = x^{b}+x^{a} = hg$
+> > donc $h$ et $g$ commutent, et $G$ est bien commutatif
+
+# Exemples
+
+> [!example] $\mathbb{Z}$
+> $\mathbb{Z}$ est monogène. On a même :
+> $k \in \mathbb{Z} \text{ engendre } \mathbb{Z}$ $\iff$ $k = \pm 1$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - $\impliedby$
+> > $\left\langle k \right\rangle = \{ nk \mid n \in \mathbb{Z} \}$ par définition d'un groupe engendré (notation additive)
+> > On a $\forall n \in \mathbb{Z},\quad n = n\times 1 \in \left\langle 1 \right\rangle$ 
+> > donc $\mathbb{Z} \subseteq \left\langle 1 \right\rangle$, donc $\mathbb{Z} = \left\langle 1 \right\rangle$ et $1$ engendre $\mathbb{Z}$
+> > De même, $n = (-n)(-1) \in \left\langle -1 \right\rangle$ donc $-1$ engendre $\mathbb{Z}$
+> > - $\implies$
+> > Si maintenant $k \in \mathbb{Z}$ est tel que $\left\langle k \right\rangle = \mathbb{Z}$ ($k$ engendre $\mathbb{Z}$)
+> > alors $1 \in \left\langle k \right\rangle$ donc $\exists n \in \mathbb{Z},\quad 1 = nk$
+> > ainsi, $k = \pm 1$ car $n, k \in \mathbb{Z}$
+> > 
+
+> [!example] $\mathbb{Q}$ n'est **pas** monogène
+> 
+