update

groupe cyclique.md

@@ -0,0 +1,23 @@
+up:: [[groupe monogène]], [[groupe fini]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] [[groupe cyclique]]
+> Un groupe $G$ est **cyclique** si il est [[groupe monogène|monogène]] et [[groupe fini|fini]]
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+
+> [!example] $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $n\geq2$
+> Soit $n \geq 2$, le groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est cyclique, et :
+> $\overline{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \text{ engendre }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $\iff$ $\overline{k} \in \left( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \right)^{\times}$ ($k$ est premier avec $n$)
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - $\forall \overline{m} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
+
+> [!example] $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ pour $p$ premier
+> Si $p$ est [[nombre premier|premier]], alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique
+
+> [!example] $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}$ n'est **pas** cyclique
+> 
+