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distance.md

@@ -2,14 +2,14 @@ up:: [[norme]]
 title:: "$d(x, y) = \|y - x\|$"
 #maths/algèbre 
 
-> [!definition] distance
-> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
-> Une application $d : E^{2} \to \mathbf{K}$ est une **distance** ssi :
-> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
-> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
-> - $\forall x \in E, \quad d(x, x) = 0$
-> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
-> - $\forall (x, y, z) \in E^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
+> [!definition] Distance
+> Soit $X$ un ensemble
+> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
+> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
+> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
+> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
+> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
+> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
 ^definition
 
 > [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
@@ -21,10 +21,16 @@ title:: "$d(x, y) = \|y - x\|$"
 
 # Propriétés
 
-
 > [!info] Equivalence entre distance et norme
 > Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
 > $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
 > est une distance
 > [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]]
 
+# Exemples
+
+> [!example]- Exemple
+> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$ 
+> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
+> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$
+