update

adhérence d'un espace métrique.md

@@ -3,17 +3,18 @@ aliases:
   - adhérence
 ---
 up:: [[espace métrique]]
+sibling:: [[intérieur d'un espace métrique|intérieur]]
 #maths/topologie 
 
 > [!definition] [[adhérence d'un espace métrique]]
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$ une partie quelconque de $X$
 > Alors il existe un unique plus petit fermé $\bar{A}$ parmi tous les fermés contenant $A$.
-> $\bar{A}$ est appelé l'**adhérence** de $A$.
+> $\bar{A}$ est appelé l'**adhérence** de $A$, ou bien **fermeture** de $A$ (de l'anglais "closure").
 ^definition
 
 # Propriétés
 
-> [!proposition] Existance et unicité
+> [!proposition]+ Existance et unicité
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$
 > $\bar{A}$ l'adhérence de $A$ existe et est unique.
 > > [!démonstration]- Démonstration
@@ -22,17 +23,19 @@ up:: [[espace métrique]]
 > > $\bar{A}$ est donc bien le plus petit fermé contenant $A$
 > > Il y a au moins un $F$ fermé tel que $F \supset A$, car $F = X$ est un tel fermé
 
-> [!proposition] Autre définition
-> - $\bar{A} = \left\{  l \in X \mid \exists (x_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}},\quad x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} l \right\}$
+> [!proposition]+ Autre définition
+> $\bar{A} = \left\{  l \in X \mid \exists (x_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}},\quad x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} l \right\}$
+>
+>  ![[intérieur et extérieur d'un espace métrique.excalidraw]]
 
-> [!proposition] Lien avec l'[[intérieur d'un espace métrique|intérieur]]
+> [!proposition]+ Lien avec l'[[intérieur d'un espace métrique|intérieur]]
 > Sur l'[[espace métrique]] $(X, d)$ :
 > - $\mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)$ c'est-à-dire que $\mathring{A}$  est le complémentaire de l'intérieur de $X \setminus A$
 > - $\bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}$
 > 
 > C'est un [[principe du parapluie|parapluie]] : $\mathring{\cdot} = \complement \circ \overline{\cdot} \circ \complement$ (car le complémentaire est sson propr inverse)
 
-> [!proposition] Lien avec la [[partie fermée d'un espace métrique|fermeture]]
+> [!proposition]+ Lien avec la [[partie fermée d'un espace métrique|fermeture]]
 > $A$ est fermé $\iff$ $A = \bar{A}$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > Si $A = \bar{A}$, comme, par définition, $\bar{A}$ est une partie fermée, alors $A$ est fermée.