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filtre.md

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+up:
+tags:
+  - s/maths/logique
+aliases:
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+> [!definition] Définition
+> Soit $X$ un ensemble
+> Un **filtre** sur $X$ est un ensemble $\mathscr{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ qui vérifie les propriétés suivantes :
+>  1. $X \in \mathscr{F}$ (contient $X$)
+>  2. Si $A, B \in \mathscr{F}$ alors $A \cap B \in \mathscr{F}$ (stabilité par intersection)
+>  3. Si $A \in \mathscr{F}$ et $A \subseteq B$ alors $B \in \mathscr{F}$ (stabilité par ?)
+>     
+> Dans tous les livres, on rajoute une hypothèse :
+>  - $\emptyset \notin \mathscr{F}$ (le filtre est non trivial)
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Filtre trivial
+> $\mathscr{F} = \mathcal{P}(X)$ est le **filtre trivial** sur $X$
+>  - i cela est rendu impossible si on admet $\emptyset \in \mathscr{F}$
+^filtre-trivial
+
+> [!proposition]+ Relation d'ordre sur les filtres
+> On peut définir une relation d'ordre sur les filtres sur $X$, héritée de la relation d'inclusion dans $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$
+^relation-d-ordre
+
+# Exemples
+
+## [[filtre de fréchet]]