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produit scalaire.md

@@ -2,18 +2,13 @@ up::[[vecteur]], [[forme bilinéaire]]
 title:: "[[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] [[forme bilinéaire définie|définie]] [[forme bilinéaire positive|positive]]"
 #maths/algèbre
 
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-Le *produit scalaire* de deux [[vecteur|vecteurs]] $u$ et $v$ est défini comme :
-$<u, v> = u +.\times v = u^T \times v$ ([[multiplication de matrices]], avec $u$ en ligne et $v$ en colonnes)
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 > [!definition] produit scalaire
-> $\begin{align}<u,v> &= \sum\limits_{i} \left( u_{i}\times v_{i} \right)\\ &= u^{T}\times v\end{align}$
-> (sur un [[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie, sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$)
-> (ce n'est pas le seul produit scalaire possible. Voir [[produit scalaire#^definition-formelle]])
+> Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
+> Soient $u$ et $v$ des veceurs de $E$
+> Le *produit scalaire* de deux [[vecteur|vecteurs]] $u$ et $v$ est défini comme :
+> $\langle u, v \rangle = u^T \times v$ ([[multiplication de matrices]], avec $u$ en ligne et $v$ en colonnes)
 ^definition
 
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 > [!definition] définition géométrique
 > $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot \cos\left(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\right)$ 
 > $\|\vec{v}\|\cdot \cos \left( \widehat{\vec{u}, \vec{v}} \right)$ est la mesure algébrique (norme avec un signe) du projeté de $\vec{v}$ sur $\vec{u}$
@@ -32,6 +27,11 @@ $<u, v> = u +.\times v = u^T \times v$ ([[multiplication de matrices]], avec $u$
 > Si on munit $E$ de $\varphi$, on obtient un [[espace préhilbertien réel]]
 ^definition-formelle
 
+> [!definition] produit scalaire classique
+> $\begin{align}\langle u,v \rangle &= \sum\limits_{i} \left( u_{i}\times v_{i} \right)\\ &= u^{T}\times v\end{align}$
+> (sur un [[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie, sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$)
+> (ce n'est pas le seul produit scalaire possible. Voir [[produit scalaire#^definition-formelle]])
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 # Propriétés