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produit direct de groupes.md

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+up:: [[groupe]]
+down:: [[produit direct de groupes abéliens]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] [[produit direct de groupes]]
+> Soient $(G, *_{G})$ et $(H, *_{H})$ deux [[groupe|groupes]]
+> L'ensemble $G \times H = \{ (g, h) \mid g \in G \wedge h \in H \}$
+> muni de la loi $*$ définie par $(g, h) * (g', h') = (g*_{G}g', h*_{H}h')$
+> est tel que $(G\times H, *)$ est aussi un [[groupe]]
+> - dont le neutre est $e_{G\times H} = (e_{G}, e_{H})$ 
+> - dans lequel l'inverse de $(g, h) \in G\times H$ est $(g, h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})$
+> [[démonstration le produit de groupes reste un groupe|démonstration]]
+^definition
+
+> [!idea] Intuition
+> Le produit cartésien préserve la structure de groupe
+
+> [!info] Groupe puissance
+> Soit $G$ un [[groupe]]
+> On definit par récurrence le groupe $G^{n} = \underbrace{G \times \cdots \times G}_{n \text{ fois}}$
+
+# Exemples
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+> [!example] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C})$
+> $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mu _{4}(\mathbb{C})$ est un groupe pour la loi $*$ suivante :
+> $(\overline{k}, \zeta)*(\overline{k'}, \zeta') = (\overline{k}+\overline{k'}, \zeta \zeta')$
+> > Note : $\mu _{4}(\mathbb{C}) = \{ -1; 1; -i; i \}$
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+> [!example] $\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}$
+> $\mathbb{R}^{*}\times \mathbb{R}$ est un groupe pour la loi $*$ donnée par :
+> $(a, b)*(a', b') = (aa', b+b')$
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