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Oscar Plaisant
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excalidraw-plugin: parsed
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tags:
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- excalidraw
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excalidraw-open-md: true
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up::[[intégration]]
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sigling:: [[intégrale de lebesgue]]
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author::[[Riemann]]
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#maths/analyse
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> [!definition] Intégrale de Riemann
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> Soit $\varphi\in\varepsilon([a,b])$ une [[fonction escalier]] sur $[a,b]$
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> Soit $s=(x_i)_{0\leq i\leq n}\in\cal S([a,b])$ une [[Subdivision d'un intervalle|subdivision]] sur $[a,b]$ _adaptée_ à $\varphi$
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> On note $\lambda_i$ la valeur de $\phi$ sur $]x_i,x_{i+1}[$
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> On montre que le réel :
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> $\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\Big( (x_i-x_{i+1})\lambda_i \Big)$
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>
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> ne dépend pas de la subdivision adaptée à $\phi$.
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> Ce réel est appelé l'_intégrale de $\varphi$ sur $[a,b]$_ et noté $\displaystyle\int_a^b\varphi(x)\, dx$
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^definition
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Soit $\varphi\in\varepsilon([a,b])$ une [[fonction escalier]] sur $[a,b]$
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Soit $s=(x_i)_{0\leq i\leq n}\in\cal S([a,b])$ une [[Subdivision d'un intervalle|subdivision]] sur $[a,b]$ _adaptée_ à $\varphi$
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On note $\lambda_i$ la valeur de $\phi$ sur $]x_i,x_{i+1}[$
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On montre que le réel :
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$\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}\Big( (x_i-x_{i+1})\lambda_i \Big)$
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ne dépend pas de la subdivision adaptée à $\phi$.
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Ce réel est appelé l'_intégrale de $\varphi$ sur $[a,b]$_ et noté $\displaystyle\int_a^b\varphi(x)\, dx$
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`$= "![[" + dv.current().file.name + ".svg|700]]" `
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# Fonction intégrable au sens de Riemann
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une [[fonction bornée]] $f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ est _intégrable au sens de Riemann_, ou encore _Riemann intégrable_, si :
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@@ -51,12 +60,10 @@ Ce nombre est la somme des aires des rectangles de base $[s_{i}; s_{i+1}]$ et de
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> > [!info] Démonstration
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> > Comme $\tau$ est plus fine que $\sigma$, pour tout $k \in \{ 0, \dots, n \}$, il existe $i_{k}\in [\![ 0; m]\!]$ tel que $s_{k} = t_{i_{k}}$. Ainsi si $i_{k} \leq i < i_{k+1} - 1$, on a $y_{i} \in [t_{i}, t_{i+1}] \subset [s_{k}, s_{k+1}]$
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# Propriétés
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Toute fonction réelle [[fonction continue|continue]] sur un segment $[a,b]$ est _Riemann intégrable_.
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De même pour toute [[fonction continue par morceaux]], pour toute fonction continue sauf en un nombre fini de points, pour toute fonction continue sauf en in nombre [[ensemble infini dénombrable|dénombrable]] de points.
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De même pour toute [[fonction continue par morceaux]], pour toute fonction continue sauf en un nombre fini de points, pour toute fonction continue sauf en un nombre [[ensemble infini dénombrable|dénombrable]] de points.
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Toute fonction réelle [[fonction monotone|monotone]] suru un segment $[a,b]$ est _Riemann intégrable_.
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@@ -89,3 +96,72 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions Riemann intégrables sur $[a,b]$. On a :
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# Excalidraw Data
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## Text Elements
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## Drawing
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```compressed-json
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