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groupe.md

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 up::[[structure algébrique]]
-title::"[[loi de composition interne|lci]] [[associativité|associative]]", "[[élément neutre]]", "touts les éléments sont [[éléments symétrisables|symétrisables]]" 
 #maths/algèbre 
 
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-
-Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi :
-- La loi est [[associativité|associative]]
-- $G$ possède un [[élément neutre]]
-- Tout élément de $G$ possède un [[éléments symétrisables|symétrique]] par $*$
-
-# Ordre d'un groupe
-L'_ordre d'un groupe_ est le [[cardinal d'un ensemble]] de son ensemble **si celui-ci est fini**
+> [!definition] groupe
+> Un ensemble $G$ muni d'une [[loi de composition interne]] $*$ est un _groupe_ ssi :
+> - La loi $*$ est [[associativité|associative]]
+> - $G$ possède un [[élément neutre]] pour $*$
+> - Tout élément de $G$ possède un [[éléments inversibles|inverse]] par $*$
+^definition
 
+> [!definition] groupe
+> Un groupe est la donnée d'un ensemble non vide $G$ et d'une [[loi de composition interne]] $*$ tels que :
+> - $*$ est [[associativité|associative]]
+>     - $\forall (a, b, c) \in G^{3}, \quad a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c$
+> - $G$ admet un [[élément neutre]] pour $*$
+>     - $\exists e \in G, \quad \forall g \in G, \quad e*g=g*e=g$
+>     - on montre qu'il est unique
+> - tout élément de $G$ possède un inverse pour $*$
+>     - $\forall g \in G, \quad \exists h \in G, \quad g*h = h*g = e$ (l'élément neutre)
+>     - on montre qu'il est unique
+^definition-formelle
 
 # Propriétés
 
- - Un groupe n'est jamais vide
-     - car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
- - Les équivalences suivantes sont véfifiées :
-     - $a*x = a*y \iff x=y$
-     - $x*a = y*a \iff x = y$
-     - $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
-     - $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$
- - L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : $a^{*n}$ ou $a^n$
-     - On pose $a^{*0}=e$
-     - On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
-     - Alors: $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$
+- Un groupe n'est jamais vide
+    - car il ne pourrait pas posséder d'élément neutre
+- Il y a un **unique** élément neutre, que l'on note $e_{G}$
+- Chaque élément possède un **unique** [[éléments inversibles|inverse]]
+    - l'inverse de $g$ est noté $g^{-1}$
 
-## Proposition
-Soit $(G, *)$ un groupe, et $a\in G$.
-Si il existe un entier naturel $n$ tel que $a^{*n} = e$, alors il existe un plus petit entier $n_0$ tel que $a^{*n_0} = e$.
-On appelle alors $n_0$ _l'ordre de $a$_.
-Si $n$ n'existe pas? on dit que $a$ est _d'ordre infini_.
+- Si $a$ et $b$ commutent, alors $a^{-1}$ et $b^{-1}$ commutent aussi  (c.a.d. $a * b = b*a \implies a^{-1} * b^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$)
+- Les équivalences suivantes sont véfifiées :
+    - $a*x = a*y \iff x=y$
+    - $x*a = y*a \iff x = y$
+    - $a*x=b \iff (a^{-1}*a)*x=a^{-1}*b \iff x=a^{-1}*b$
+    - $x*a=b \iff x=b*a^{-1}$
+- L'itéré $n$-ème d'un élément s'écrie : $a^{*n}$ ou $a^n$
+    - On pose $a^{*0}=e$
+    - On note $(a^{-1})^{*n} = a^{-n}, (n\in\mathbb N)$
+    - Alors: $(a^{-1})^{*n} = (a^{*n})^{-1}$
 
+> [!info] Inverse d'un produit d'éléments
+> - pour $g_1,  g_2, \dots, g_{n-1}, g_{n} \in G$, on a $(g_1*g_2*\cdots*g_{n-1}*g_{n})^{-1} = g_{n}^{-1}*g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_2^{-1}*g_1^{-1}$
+> - [!]  il faut bien inverser l'ordre des éléments
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Par réccurence sur $n \in \mathbb{N}^{*}$
+> > 1. Initialisation
+> > On veut monter que $g_1^{-1} = g_1^{-1}$. C'est évident.
+> > 2. Hérédité
+> > On suppose la propriété vraie pour un $n-1 \in \mathbb{N}^{*}$
+> > Pour $g_1, \dots, g_{n} \in G$, on a :
+> > $$\begin{align}
+> > (g_1*\cdots*g_{n})*(g_{n}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) &= g_1*\cdots*g_{n-1}*\underbrace{g_{n}*g_{n}^{-1}}_{e_{G}} * g_{n-1}^{-1} *\cdots*g_1^{-1} & \text{ par associativité} \\
+> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*e_{G}*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
+> > &= (g_1*\cdots*g_{n-1})*(g_{n-1}^{-1}*\cdots*g_1^{-1}) \\
+> > &= e_{G } & \text{par hypothèse de récurrence}
+> > \end{align}
+> > $$
 
 # Exemples
 
+> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
+> ```breadcrumbs
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