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espace vectoriel.md

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 title::"$(E, +, \cdot)$ tel que", " - $(E, +)$ est un [[groupe abélien]]", " - $\cdot$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$"
 #maths/algèbre 
 
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-
-Un _espace vectoriel_ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :
- - une [[loi de composition interne]] notée $+$
- - une [[loi de composition]] **externe** notée $\cdot$
-
-Soit $K$ un [[corps]]
-
-Ces deux opérations vérifient :
- - $(E, +)$ est un [[groupe abélien]] dont l'[[élément neutre]] est le vecteur nul $0_E$
- - $(E, \cdot)$ est un [[monoïde]] (à gauche) dont l'[[élément neutre]] est $1$
-     - $\displaystyle \forall\overrightarrow{u}\in E, \forall(\lambda, \mu) \in K^{2}, \left\{\begin{array}{l}(1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u})\\\text{et}\\(\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda\mu)\cdot u))\end{array}\right.$
- - Liens entre $+$ et $\cdot$ :
-     - [[distributivité]] de $\cdot$ par rapport à $+$ sur $E$ : $\forall\lambda\in K, \forall(\vec v, \vec u)\in E^{2},\quad\lambda\cdot(\vec u+\vec v) = \lambda\cdot\vec u + \lambda\cdot\vec v$ 
-     - [[distributivité]] de $\cdot$ par rapport à $+$ sur $\mathbb R$ : $\forall(\lambda,\mu)\in K, \quad \forall\vec u\in E, (\lambda + \mu)\cdot\vec u = \lambda\cdot\vec u + \mu\cdot\vec u$
-
-$\forall \vec{u} \in E, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbf{K}^{2}, \begin{cases}1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\\ \text{ et }\\ \lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \mu) \cdot u\end{cases}$
+> [!definition] Espace vectoriel
+> Un _espace vectoriel_ est un ensemble $E$ muni de deux opérations :
+>  - une [[loi de composition interne]] notée $+$
+>  - une [[loi de composition]] **externe** notée $\cdot$
+> 
+> Soit $K$ un [[corps]]
+> 
+> Ces deux opérations vérifient :
+>  - $(E, +)$ est un [[groupe abélien]] dont l'[[élément neutre]] est le vecteur nul $0_E$
+>  - $(E, \cdot)$ est un [[monoïde]] (à gauche) dont l'[[élément neutre]] est $1$
+>      - $\displaystyle \forall\overrightarrow{u}\in E, \forall(\lambda, \mu) \in K^{2}, \left\{\begin{array}{l}(1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u})\\\text{et}\\(\lambda\cdot(\mu\cdot u)=(\lambda\mu)\cdot u))\end{array}\right.$
+>  - Liens entre $+$ et $\cdot$ :
+>      - [[distributivité]] de $\cdot$ par rapport à $+$ sur $E$ : $\forall\lambda\in K, \forall(\vec v, \vec u)\in E^{2},\quad\lambda\cdot(\vec u+\vec v) = \lambda\cdot\vec u + \lambda\cdot\vec v$ 
+>      - [[distributivité]] de $\cdot$ par rapport à $+$ sur $\mathbb R$ : $\forall(\lambda,\mu)\in K, \quad \forall\vec u\in E, (\lambda + \mu)\cdot\vec u = \lambda\cdot\vec u + \mu\cdot\vec u$
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+> $\forall \vec{u} \in E, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbf{K}^{2}, \begin{cases}1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\\ \text{ et }\\ \lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \mu) \cdot u\end{cases}$
 
 # Vocabulaire
 On dit que $(E, +, \cdot)$ est l'espace vectoriel $E$ muni de $+$ et de $\cdot$ (la multiplication externe)