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distance.md

@@ -2,19 +2,29 @@ up:: [[norme]]
 title:: "$d(x, y) = \|y - x\|$"
 #maths/algèbre 
 
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 > [!definition] distance
+> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
+> Une application $d : E^{2} \to \mathbf{K}$ est une **distance** ssi :
+> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
+> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
+> - $\forall x \in E, \quad d(x, x) = 0$
+> - $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
+> - $\forall (x, y, z) \in E^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
+^definition
+
+> [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
 > Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]] 
 > Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
 > On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
 > $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
-^definition
+^definition-depuis-une-norme
 
-> [!definition] distance (définition axiomatique)
-> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
-> Une fonction $d : E^{2} \to \mathbf{K}$ est une **distance** ssi :
->  - $d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
->  - $d(x, y) = 0 \iff x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
->  - $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$ ([[inégalité triangulaire]] )
+# Propriétés
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+> [!info] Equivalence entre distance et norme
+> Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
+> $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
+> est une distance
+> [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]]