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cours L3.algèbre.propriétés des inverses.md

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+aliases:
+  - inverses
+  - propriétés des inverses dans les groupes
+  - propriétés des inverses
+---
+up:: [[cours L3.algèbre]]
+
+> [!definition] Proposition
+> Soit $(G, *)$ un groupe
+> Soient $a, b, c \in G$
+> On a $\begin{align} a*b = a*c &\iff b=c \\&\iff b*a=c*a \end{align}$
+> De plus, l'équestion $a*x = b$ d'inconnue $x \in G$ a pour unique solution $x = a^{-1} * b$
+> > [!démonstration] Démonstration
+> > Montrons $a*b = a*c \iff b=c$
+> > 1. implication $\implies$
+> > $\begin{align} a*b=a*c &\implies a^{-1}*(a*b) = a^{-1}*(a*c)\\ &\implies (a^{-1}*a)*b = (a^{-1}*a)*c & \text{associativité}\\&\implies b=c\end{align}$
+> > 2. implication $\impliedby$   
+> > $b=c \implies a*b = a*c \implies$ évident en multipliant à gauche par $a$
+
+> [!definition] proposition
+> Soit $(G, *)$ un groupe
+> Soient $a, b \in G$ qui commutent ($a*b = b*a$)
+> Alors $a ^{-1}$ commute avec $b$ et $b^{-1}$
+> > [!démonstration] Démonstration
+> > $$
+> > \begin{align}
+> > a*b = b*a &\implies a^{-1}*(a*b) = a^{-1}*(b*a)  \\
+> > &\implies \underbrace{(a^{-1}*a)}_{e_{G}}*b = (a^{-1}*b)*a & \text{par associativité} \\
+> > &\implies b = a^{-1} * b * a \\
+> > &\implies b*a^{-1} = a^{-1} * b * \underbrace{a * a^{-1}}_{e_{G}} \\
+> > &\implies b*a^{-1} = a^{-1}*b
+> > \end{align}
+> > $$
+> > Ainsi, $b$ commute avec $a^{-1}$ dès que $a$ commute avec $b$
+> > On utilise la même méthode pour montrer que $a ^{-1}$ commute avec $b^{-1}$ dès que $b$ commute avec $a^{-1}$.
+> > On peut donc bien conclure que $a^{-1}$ commute avec $b^{-1}$ dès que $a$ commute avec $b^{-1}$