update

centre d'un groupe.md

@@ -6,10 +6,33 @@ title::"$Z_{G} = \{ x \in G \mid \forall a\in G, x*a=a*x \}$"
 description::"l'ensemble des éléments qui sont commutatifs dans $G$"
 #maths/algèbre 
 
----
-Soit $(G, *)$ un [[groupe]]
-Le _centre_ de $G$ est l'ensemble des élément de $G$ qui [[commutativité|commutent]] avec tout élément de $G$
-C'est l'ensemble $\left\{ x \in G \mid \forall a \in G, x*a = a*x \right\}$
+> [!definition] [[centre d'un groupe]]
+> Soit $G$ un groupe
+> L'ensemble $Z(G) := \{ g \in G \mid \forall h \in G, \quad gh = hg \}$ de tous les éléments qui commutent
+> est un [[sous-groupe]] [[commutativité|commutatif]] appelé le **centre** de $G$
+> On le note $Z(G)$ ou $Z_{G}$
+^definition
+
+> [!definition] Autrement
+> Soit $(G, *)$ un [[groupe]]
+> Le _centre_ de $G$ est l'ensemble des élément de $G$ qui [[commutativité|commutent]] avec tout élément de $G$
+> C'est l'ensemble $\left\{ x \in G \mid \forall a \in G, x*a = a*x \right\}$
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition] Proposition
+> Le centre d'un groupe est un [[groupe abélien]]
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $G$ un groupe
+> > - On a bien $Z(G) \subseteq G$ par définition
+> > - $\forall g \in G, \quad 1_{G}g = g 1_{G} = g$, donc $1_{G} \in Z(G)$
+> > - Soient $z, z' \in Z(G)$
+> > $\begin{align} \forall g \in G, (zz')g &= z (s'g)\\&= z(gz') & \text{car } z' \in Z(G)\\ &= (zg)z'\\ &= (gz)z' & \text{car } z\in Z(G)\\ &= g(zz') \end{align}$
+> > et donc $zz'$ commute, avec $g$, c'est-à-dire que $zz' \in Z(G)$
+> > - Soit $z \in Z(G)$ et soit $g \in G$
+> > On a $zg = gz$, donc $g = z^{-1}gz$ et donc $gz^{-1} = z^{-1} g$
+> > ainsi, on a $z^{-1} \in Z(G)$
+> > Donc $Z(G)$ est stable par inversion
+> > Et donc, $Z(G)$ est bien un [[sous-groupe]] de $G$
+> > 
 
-> [!note] Notation 
-> On note $Z_{G}$ ou $Z(G)$ le [[centre d'un groupe|centre]] de $G$