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boule ouverte.md

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+up:: [[boule]]
+sibling:: [[boule fermée]]
+#maths/algèbre 
+
+> [!definition] boule ouverte
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]], on appelle **boule ouverte** de centre $x_0 \in X$ et de rayon $r \geq 0$ la partie $B(x_0, r)$ de $X$ définie par :
+> $B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) < r \}$
+^definition
+
+> [!example] Exemple avec la [[distance euclidienne]]
+> ![[boule ouverte 2024-09-09 10.28.55.excalidraw|300]]
+^example
+
+> [!idea] autres notations pour les boules ouvertes
+> $B(x_0, r)$, $B_{r}(x_0)$, $B_{x_0}(r)$, $B^{o}_{r}(x_0)$
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition] Toute boule ouverte est ouverte
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> $B(x_0, r) = \{ y\in X \mid d(x_0, x) < r\}$ est un ouvert de $X$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $x \in B(x_0, r)$
+> > si $r_{x} = r - d(x_0, x) > 0$
+> > on va voir que $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
+> > En effet, si $y \in B(x, r_{x})$, on a :
+> > $d(y, x) < r_{x}$
+> > $d(y, x) < r-d(x_0, x)$
+> > $d(x_0, x) + d(x, y) < r$
+> > $d(x_0, y) < r$ par inégalité triangulaire
+> > et donc $y \in B(x_0, r)$
+> > On a bien montré $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
+> 
+
+> [!proposition] Proposition 
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> Soient $x_0, y_0 \in X$ et $r, r' \in \mathbb{R}^{+*}$
+> On a :
+> $B(x_0, r) \subset B(y_0, r')$ pour $r' \geq r + d(x_0, y_0)$
+
+# Exemples
+
+- = Voir [[Exemples de boules]]