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adhérence d'un espace métrique.md

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+aliases:
+  - adhérence
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+up:: [[espace métrique]]
+#maths/topologie 
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+> [!definition] [[adhérence d'un espace métrique]]
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$ une partie quelconque de $X$
+> Alors il existe un unique plus petit fermé $\bar{A}$ parmi tous les fermés contenant $A$.
+> $\bar{A}$ est appelé l'**adhérence** de $A$.
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition] Existance et unicité
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et $A \subset X$
+> $\bar{A}$ l'adhérence de $A$ existe et est unique.
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $\displaystyle\bar{A} = \bigcap _{\substack{F \text{ fermé de } X\\A \subset F}} F$
+> > $\bar{A}$ est une partie fermée, et $\bar{A}$ est contenue dans chacun des $F$ fermés contenant $A$.
+> > $\bar{A}$ est donc bien le plus petit fermé contenant $A$
+> > Il y a au moins un $F$ fermé tel que $F \supset A$, car $F = X$ est un tel fermé
+
+> [!proposition] Autre définition
+> - $\bar{A} = \left\{  l \in X \mid \exists (x_{n})_{n} \in A^{\mathbb{N}},\quad x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} l \right\}$
+
+> [!proposition] Lien avec l'[[intérieur d'un espace métrique|intérieur]]
+> Sur l'[[espace métrique]] $(X, d)$ :
+> - $\mathring{A} = X \setminus \left( \overline{X \setminus A} \right)$ c'est-à-dire que $\mathring{A}$  est le complémentaire de l'intérieur de $X \setminus A$
+> - $\bar{A} = X \setminus \mathring{\overparen{(X \setminus A)}}$
+> 
+> C'est un [[principe du parapluie|parapluie]] : $\mathring{\cdot} = \complement \circ \overline{\cdot} \circ \complement$ (car le complémentaire est sson propr inverse)
+
+> [!proposition] Lien avec la [[partie fermée d'un espace métrique|fermeture]]
+> $A$ est fermé $\iff$ $A = \bar{A}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Si $A = \bar{A}$, comme, par définition, $\bar{A}$ est une partie fermée, alors $A$ est fermée.
+> > Inversement, si $A$ est fermée, $\bar{A}$ est le plus petit fermé qui contient $A$, donc $\bar{A} = A$
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+# Exemples
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