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Norme.md

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 up::[[espace vectoriel]]
-title::"$\mathcal{N}(x)=0 \implies x=0$", "$\forall (\lambda, x)\in \mathbf{K}\times E, \mathcal{N}(\lambda x)=|\lambda|\mathcal{N}(x)$", "$\forall (x,y)\in E^{2}, \mathcal{N}(x+y)\leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$"
 #maths/algèbre 
 
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-> [!definition] Norme
+> [!definition] norme
 > Soit $\mathbf{K}$ un [[corps commutatif]] muni d'une [[valeur absolue]] 
 > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
 > Une **norme** sur $E$ est une [[application]] $\mathcal{N}$ de $E \to \mathbf{K}$ qui satisfait :
@@ -15,12 +11,26 @@ title::"$\mathcal{N}(x)=0 \implies x=0$", "$\forall (\lambda, x)\in \mathbf{K}\t
 >  - [[inégalité triangulaire]] ([[application sous-additive]]) : $\forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$
 ^definition
 
-> [!definition] Norme d'un vecteur
+> [!definition] Norme Euclidienne sur $\mathbb{R}^{n}$
 > Soit $\vec{v} \in \mathbb{R}^{n}$ un vecteur
 > On note $\|\vec{v}\|$ la norme de $\vec{v}$, et on a :
 > $\|\vec{v}\| = \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^{n} (\vec{v}_{k})^{2} }$
 
 # Propriétés 
 
- - La norme est toujours positive 
- - [[inégalité triangulaire]] :  $\|a+b\| \leq  \|a\|+\|b\|$
+> [!info] Positivité
+> Toute norme est toujours positive :
+> $\forall x \in E, \quad \mathcal{N}(x) \geq 0$
+> [[démonstration positivité de toute norme|démonstration]]
+
+> [!info] normes sur des produits d'espaces
+> Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]], et $\|\cdot \|_{E}$ (resp. $\|\cdot \|_{F}$) une norme sur $E$ (resp. sur $F$).
+> Alors $E \times F$ est un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]], et on peut définir des normes sur $E\times F$, par exemple :
+> $\forall e, f \in E \times F,$
+> - $\|(e, f)\|_{1} = \|e\|_{E} + \|f\|_{F}$
+> - $\|(e, f)\|_{2} = \sqrt{ \|e\|_{E}^{2} + \|f\|_{E}^{2} }$
+> - $\|(e, f)\|_{\infty } = \max(\|e\|_{E}, \|f\|_{F})$
+> - $\vdots$
+> 
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