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topologie induite.md

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+up:: [[topologie]]
+#maths/topologie 
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+> [!definition] [[topologie induite]]
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] et soit $A \subset X$
+> $d$ [[distance induite|induit]] une distance $d_{A}$ sur $A$, c'est-à-dire que $d_{A}(a, a') = d(a, a')$
+> Alors ()
+^definition
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Proposition
+> Soit $(X, d)$ un espace métrique
+> Soit $A \subset X$ 
+> Soit $d_{A}$ la [[distance induite]] par $d$ sur $A$.
+> On a :
+> $U \subset A$ est une partie ouvert de $(A, d_{A})$ si et seulement si il existe un ouvert $\tilde{U}$ de $(X, d)$ tel que $U = \tilde{U} \cap A$
+> - ! $\tilde{U}$ n'est pas unique en général
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+> [!proposition]+ Proposition
+> Soit $(X, d)$ un espace métrique
+> Soit $A \subset X$ 
+> Soit $d_{A}$ la [[distance induite]] par $d$ sur $A$.
+> On a :
+> $F \subset A$ est un fermé de $(A, d_{A})$ si et seulement si il existe un fermé $\tilde{F}$ de $(X, d)$ tel que $F = \tilde{F} \cap A$
+> - ! $\tilde{F}$ n'est pas unique en général
+> - I On peut prendre $\tilde{F} = \overline{F}^{X}$ l'[[adhérence]] de $F$ vu comme une partie de $X$
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+# Exemples
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