update

ordre d'un élément d'un groupe.md

@@ -4,7 +4,117 @@ up::[[groupe]]
 > [!definition] Ordre d'un groupe
 > Soit $(G, *)$ un groupe, et $a\in G$.
 > Si il existe un entier naturel $n$ tel que $a^{*n} = e$, alors il existe un plus petit entier $\circ(a)$ tel que $a^{*\circ(a)} = e$.
-> Si $n$ n'existe pas, on dit que $a$ est **d'ordre infini**.
-> Si $n$ existe, on dit que $a$ est d'**ordre fini**, et d'**ordre $\circ(a)$**
+> - Si $n$ n'existe pas, on dit que $a$ est **d'ordre infini**.
+> - Si $n$ existe, on dit que $a$ est d'**ordre fini**, et d'**ordre $o(a) = n$**
+>
+> Formellement :
+> loi notée multiplicativement : $o(x) = \min(n \in \mathbb{N}^{*} \mid x^{n} = 0)$
+> loi notée additivement: ${o(x) = \min ( n \in \mathbb{N}^{*} \mid nx = 0 )}$
 ^definition
 
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ ordre 1 $\implies$ élément neutre
+> Si $G$ est un groupe, alors $1_{G}$ est l'unique élément d'ordre 1
+
+> [!proposition]+ Proposition
+> Soit $G$ un groupe et $x \in G$ d'ordre $n \in \mathbb{N}^{*}$
+> Si $d|n$ , alors $x^{d}$ est d'ordre $\frac{n}{d}$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Soit $y := x^{d}$
+> > $y$ est d'ordre fini $o(y) \leq \frac{n}{d}$ car $y^{\frac{n}{d}} = (x^{d})^{\frac{n}{d} = d^{d\times \frac{n}{d}}} = x^{n} = 1$
+> > Si maintenant $k \geq 1$ est tel que $y^k = 1$
+> > alors $(x^{d})^{k} = 1$, donc $x^{dk} = 1$
+> > donc $n = o(x) \leq dk$
+> > et donc $k \geq \frac{n}{d}$ donc $o(y) \geq \frac{n}{d}$
+> > finalement, on a bien $o(y) = \frac{n}{d}$
+
+> [!proposition]+ Ordre du sous-groupe engendré
+> Soit $G$ un groupe, avec $x \in G$
+> $\boxed{o(x) = \#\left\langle x \right\rangle}$ 
+> Plus précisément :
+> - si $o(x) < \infty$, alors la fonction :
+> $\begin{align} f : \{ 0, 1, \dots, o(x) - 1 \} \to& \left\langle x \right\rangle \\ i \mapsto& x^{i} \end{align}$
+> est une bijection.
+> En particulier, $\left\langle x \right\rangle= \{ 1, x, x^{2} , x^{3}, \dots, x^{o(x)-1}\}$
+> - si $o(x) = \infty$, alors la fonction :
+> $\begin{align} g: \mathbb{Z} \to& \left\langle x \right\rangle \\ i \mapsto x^{i} \end{align}$
+> est une bijection
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - On suppose d'abord $o(x) = \infty$
+> > l'application $g$ est bien définie, car $\forall i \in \mathbb{N},\quad x^{i} = x \cdot x\cdots x \in \left\langle x \right\rangle$ 
+> > on sait que $g$ est surjective.
+> > Soient $m \geq n \in \mathbb{Z}$ tels que $g(m) = g(n)$
+> > On a $x^{m} = x^{n}$ donc $x^{m-n} = 1$
+> > Or, $m-n \geq 0$ ; mais, puisque $o(x) = \infty$ on a nécessairement $m-n = 0$ soit $m = n$. Donc $g(m) = g(n) \implies m = n$, et $g$ est injective.
+> > $g$ est donc une bijection.
+> > On peut alors déduire que $\#\left< x \right> = \#\mathbb{Z} = o(x) = \infty$ comme annoncé
+> > - on suppose maintenant $o(x) < \infty$
+> >     1. Mq $f$ est surjective
+> >     Soit $y \in \left< x \right>$, on a vu qu'il existe $i \in \mathbb{Z}$ tel que $y = x$.
+> >     Quite à considérer $i + ko(x)$ pour $k \gg 0$ ($k$ assez grand), on peut supposer $i \geq 0$
+> >     on a $x^{i+ko} = x^{i}x^{ko(x)} = y \left(x^{o(x)}\right)^{k} = y 1^{k} = y$
+> >     on écrit maintenant la division euclidienne de $i$ par $o(x) \geq 1$ : $i = qo(x) + r$
+> >     or, $q \in \mathbb{N}$ et $0\leq r < o(x)$
+> >     On a alors $y = x^{i} = x^{qo(x)+r} = \left( x^{o(x)} \right)^{q} x^{r} = 1x^{r} = x^{r}$
+> >     Piusque $0 \leq r < o(x)$, on a $y \in f(\{ 0, 1, \dots, o(x) -1 \})$
+> >     Donc $f$ est surjective
+> >     2. Mq $f$ est injective
+> >     Soient $0 \leq m \leq n < o(x)$ tels que $f(m) = f(n)$
+> >     on a $x^{m} = x^{n}$ donc $x^{n-m} = 1$
+> >     ainsi, par définition, si $n-m\geq 1$ alors $o(x) \leq n-m \leq n < o(x)$, ce qui est impossible.
+> >     Donc, on a nécessairement $n-m = 0$, soit $m=n$.
+> >     Finalement, $f$ est injective.
+> >     3. Comme $f$ est surjective et injective, alors elle est bijective
+> >     De là suit $o(x) = \#\left< x \right>$
+> 
+> > [!corollaire] Corollaire 
+> > Soit $G$ un groupe **fini**
+> > Soit $x \in G$
+> > $\boxed{o(x) | \# G}$
+> > en particulier, tous les éléments de $G$ sont d'ordre fini.
+> > > [!démonstration]- Démonstration
+> > > $o(x) = \#\left< x \right>$ par la prop précédente
+> > > $\#\left< x \right> | \#G$  par le [[théorème de Lagrange]]
+> > > donc, $o(x) | \#G$
+> 
+
+> [!example] Exemple sur le [[groupe du rubik's cube]]
+> > Comme le groupe du rubik's cube est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{48}$, aucune permutation n'a pour ordre $53$ (puisque 53 est premier avec 48 et supérieur à 48)
+> > 
+
+
+# Exemples
+
+
+> [!example] dans $\mathbb{C}^{\times}$
+> $o(i) = 4$ car : $i \neq 1$, $i^{2}= -1\neq 1$, $i^{3}= i^{2}\cdot i = -i \neq 1$ et $i^{4}=(i^{2})^{2} = (-1)^{2}= 1$
+> 
+> 
+
+> [!example] dans $\mathbb{C}$
+> $o(i) = \infty$ car $\forall n \in \mathbb{N}^{*},\quad ni \neq 0$
+
+> [!example] Dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$
+> on a $o(\overline{2}) = 3$ car : 
+> - $\overline{2} \neq \overline{0}$
+> - $2\cdot \overline{2} = \overline{4} \neq \overline{0}$
+> - $3\cdot \overline{2} = \overline{ 6} = \overline{0}$
+
+> [!example] dans $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^{\times}$
+> On a bien $\overline{2} \in (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^{\times}$ car $\mathrm{pgcd}(2, 9) = 1$ et $o(\bar{2})=\overline{6}$ 
+> 
+
+> [!example] dans $GL_{2}(\mathbb{C})$
+> ce groupe est infini, car $\forall \lambda \in \mathbb{C}^{\times},\quad \begin{pmatrix}\lambda&0\\0&1\end{pmatrix} \in GL_{2}(\mathbb{C})$
+> $A := \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$
+> $o(A) = 4$
+
+> [!example] dans le [[groupe du rubik's cube]]
+> $o(\text{mouvement d'une face}) = 4$
+> $o(\text{PLL U}) = 3$
+> $o(\text{RU'}) = 63$
+>  - [ ] #task $o(\text{RU}) = ?$ 📅 2024-10-01
+
+