diff --git a/désintégration audioactive.md b/désintégration audioactive.md
index 97db3b28..836e729f 100644
--- a/désintégration audioactive.md	
+++ b/désintégration audioactive.md	
@@ -119,17 +119,17 @@ header-auto-numbering:
 > > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
 > > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
 > >  - Si $R$ commence par $1$
-> >      - Si $R$ commence par $1^{1}$
+> >      - Si $R$ commence par $1^{1}$ on a $R=[1^{1}2^{2} \text{ ou } [1^{2}2^{\leq 3} \text{ ou } [1^{3}X$
 > >          - c $[1^{1}]$ impossible car ne peut pas être dérivé
-> >          - p $[1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}(n \neq X) \leftarrow [(n \neq X)^{X}$
+> >          - p $[1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X}$ car $X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X$
 > >          - down $[1^{1}X^{2}$ se divise en plusieurs cas, le seul possible étant $[1^{1}2^{2}$
 > >              - right $[1^{1}1^{2} = [1^{3}$ que l'on traitera plus tard
-> >              - p $[1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}n^{X}$
-> >              - c $[1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3}$ impossible car de la forme $,ax,bx,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
-> >              - c $[1^{1}(n\geq 4)^{2} \longleftarrow [n^{1}X^{n\geq 4}$ impossible au [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
-> >          - c $[1^{1}X^{3}$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
+> >              - p $[1^{1}2^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{2}(\neq X)^{X}$
+> >              - c $[1^{1}3^{2} \longleftarrow [3^{1}X^{3} = [3X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
+> >              - c $[1^{1}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [(\geq 4)^{1}X^{\geq 4}$ impossible au [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
+> >          - c $[1^{1}X^{3} = [1X,XX,$ impossible car de la forme $,aX,bX,$ ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
 > >          - c $[1^{1}X^{n\geq 4}$  impossible puisque $X^{n\geq 4}$ est impossible dès le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|jour 1]]
-> >      - Si $R$ commence par $1^{2}$
+> >      - Si $R$ commence par $1^{2}$ on $R= [1^{2}2^{\leq 3}$
 > >          - right $[1^{2}1^{1} = [1^{3}$
 > >          - c $[1^{2}1^{\geq2} = [1^{\geq 4}$ impossible
 > >          - p $[1^{2}2^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{2} \longleftarrow [X^{1}n^{X}$ 
@@ -139,22 +139,22 @@ header-auto-numbering:
 > >          - c $[1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3}$ impossible car $,1X,XX,$ est impossible
 > >          - c $[1^{2}(X\geq 4)$ impossible par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]]
 > >      - p $[1^{3}X \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$
-> >  - Si $R$ commence par $2$
+> >  - Si $R$ commence par $2$ alors $R= [2^{1}X^{1 \text{ ou }2}$
 > >      - down $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités :
 > >          - p $[2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}$
 > >          - p $[2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}$
 > >          - c $[2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots$ impossible
-> >      - c $[2^{\geq 2}$ est impossible par supposition
-> >  - Si $R$ commence par $3$
+> >      - c $[2^{\geq 2}$ impossible par supposition car commencerait par $[22$
+> >  - Si $R$ commence par $3$ alors $R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}$
 > >      - p $[3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}$
 > >      - down $[3^{1}(1 \text{ ou } 2)^{2}$ puisque :
 > >          - p $[3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}$
 > >          - p $[3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2}$ possible si $X \neq 2$
 > >          - c $[3^{1}3^{3} = [3^{4}$
 > >          - c $[3^{1}(n \geq 4)^{2} \longleftarrow [n^{3}X^{n\geq 4}$ impossible
-> >      - $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
+> >      - c $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
 > >      - p $[3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}$
-> >      - c $[3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3}$ impossible 
+> >      - c $[3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots$ impossible 
 > >      - down $[3^{2}X^{2}$ on doit avoir $X \leq 2$
 > >          - p $[3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow  [3^{3}1^{3}$
 > >          - p $[3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}$
@@ -171,6 +171,7 @@ header-auto-numbering:
 > >      - c $[(\geq 4)^{2} \leftarrow [n^{n}$ pour $n \geq 4$ : impossible
 > >      - c de même pour tous les $[(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n}$ avec $n \geq 4$
 > > 
+> > L'ensemble des possibilités se résume donc à :
 > > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408|p.186]]