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M1 LOGOS . logique . calculer.md

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 # 1. Le calcul booléen
 author:: [[George Boole]]
-[[calcul booléen]]
+[[calcul booléen]]

calcul booléen.md

@@ -23,3 +23,20 @@ tags: "#s/maths/logique"
 >  - implication $\implies$ avec $A \implies B = \neg A \vee B$
 >  - équivalence $\iff$ avec $A \iff B = (A \implies B) \wedge (B \implies A)$
 >  - ou exclusif $|$ ou $\oplus$ avec $A \oplus B = \begin{cases} 1 \text{ si } A \neq B\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
+
+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Théorème
+> Toute fonction logique $\{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \}$ peut s'exprimer à l'aide de $\wedge$, $\vee$ et $\neg$ uniquement, et même, au choix, de $\wedge$ et $\neg$, ou bien de $\vee$ et $\neg$ (mais pas $\vee$ ou $\wedge$).
+> On montre aussi que le ou exclusif suffit.
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > 1. Soit $a = (a_1, \dots, a_{n}) \in \{ 0, 1 \}^{n}$ on va construire une fonction $\delta _{a}$ à l'aide de $\wedge$ et $\neg$ telle que $\delta _{a}(x) = \begin{cases} 1 \text{ si } x = a\\0 \text{ sinon} \end{cases}$
+> >    on note $x_1^{a_1} = \begin{cases} x_1 \text{ si } a_{1} = 1\\ \neg x_1 \text{ si } a_1 = 0 \end{cases}$
+> >    On a alors $\delta_{a}(x) = 1$ si et seulement si $\forall i,\quad x_{i}^{a_{i}} = 1$ c'est-à-dire ssi $\forall i,\quad x_{i} = a_{i}$
+> > 2. soit $f : \{ 0, 1 \}^{n} \to \{ 0, 1 \}$
+> >    $A = \{ (a_1, \dots, a_{n}) | f(a_1, \dots, a_{n}) = 1 \}$
+> >    $f(x) = \underbrace{\bigvee_{a \in A} \delta _{a}(x)}_{\substack{\text{vaut 1 ssi}\\ \exists a \in A,\quad \delta _{a}(x) = 1\\ \text{c'est-à-dire }\\ \exists a \in A,\quad x = a}}$
+> >    
+