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Oscar Plaisant
2024-12-21 19:09:11 +01:00
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@@ -62,6 +62,26 @@ up:: [[fonction]], [[espace mesurable]]
> > De la même manière, $\forall B_2 \in \mathcal{B}_{2},\quad (p_2 \circ f)^{-1}(B_2) = f^{-1}(F_1 \times B_2) \in A$
> >
> [!proposition]+ Mesurabilité des fonctions indicatrices
> Dans un [[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
> Soit $A \subset E$
> On a :
> $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Par définition de la mesurabilité :
> > $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
> > Or, $\mathbb{1}_{A}$ est à valeurs dans $\{ 0, 1 \}$ donc :
> > $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B \in \{ 0, 1 \},\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
> > or, $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) \in B \}$
> > - Si $B = \emptyset$, alors il est évident que $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \emptyset$
> > - Si $B = \{ 0 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) = 0 \} = E \setminus A$
> > - Si $B = \{ 1 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = A$
> > - Si $B = \{ 0, 1 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = E$
> >
> > Or, $\emptyset \in \mathcal{A}$ et $E \in \mathcal{A}$ par définition, et $A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A} \iff E \setminus A \in \mathcal{A}$ (par stabilité de $\mathcal{A}$ par complémentaire).
> > De là suit que $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable si et seulement si $A$ est mesurable.
> >
^fonctions-indicatrices
# Exemples