diff --git a/désintégration audioactive.md b/désintégration audioactive.md
index 836e729f..c8411e23 100644
--- a/désintégration audioactive.md	
+++ b/désintégration audioactive.md	
@@ -119,7 +119,7 @@ header-auto-numbering:
 > > Explorons les valeurs possibles de $R$ en supposant que $R$ est âgée de 2 jours ou plus, et ne commence pas par $2^{2}$.
 > > Eliminons à chaque fois les valeurs impossibles (notamment en utilisant les théorèmes [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|du jour 1]] et [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|du jour 2]]) :
 > >  - Si $R$ commence par $1$
-> >      - Si $R$ commence par $1^{1}$ on a $R=[1^{1}2^{2} \text{ ou } [1^{2}2^{\leq 3} \text{ ou } [1^{3}X$
+> >      - Si $R$ commence par $1^{1}$
 > >          - c $[1^{1}]$ impossible car ne peut pas être dérivé
 > >          - p $[1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1} \leftarrow [(\neq X)^{X}$ car $X^{X} \longrightarrow XX \longrightarrow 2X$
 > >          - down $[1^{1}X^{2}$ se divise en plusieurs cas, le seul possible étant $[1^{1}2^{2}$
@@ -138,31 +138,43 @@ header-auto-numbering:
 > >          - c $[1^{2}2^{\geq 4}$ impossible 
 > >          - c $[1^{2}3^{n \geq 1} \longleftarrow [1^{1}n^{3}$ impossible car $,1X,XX,$ est impossible
 > >          - c $[1^{2}(X\geq 4)$ impossible par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]]
-> >      - p $[1^{3}X \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$
-> >  - Si $R$ commence par $2$ alors $R= [2^{1}X^{1 \text{ ou }2}$
+> >      - Si $R$ commence par $1^{3}$ on a $R = [1^{3}X^{1} \text{ ou } [1^{3}2^{2}$
+> >          - p $[1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{1}$
+> >          - p $[1^{3}2^{2}$
+> >              - $[1^{3}1^{2}$ est évidemment exclus
+> >              - p $[1^{3}2^{2} \longleftarrow [1^{1}2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}X^{X}$
+> >              - c $[1^{3}2^{3} = [11,12,22$ impossible
+> >              - c $[1^{3}2^{\geq 4}$ impossible
+> >          - c $[1^{3}X^{3}=[11,1X,XX$ impossible
+> >  - Si $R$ commence par $2$ alors $R= [2^{1}X^{\leq 2}$
 > >      - down $[2^{1}X$ considérons les différentes possibilités :
 > >          - p $[2^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{2} \longleftarrow [X^{X}$
 > >          - p $[2^{1}X^{2} \longleftarrow [2^{1}XY \longleftarrow [X^{2}Y^{X}$
 > >          - c $[2^{1}X^{\geq 3} = [2X,XX, \dots$ impossible
-> >      - c $[2^{\geq 2}$ impossible par supposition car commencerait par $[22$
+> >      - c $[2^{2}$ impossible par supposition car commencerait par $[22$
+> >      - p $[2^{3} \longleftarrow [2^{2}X^{2} \longleftarrow [2^{2}X^{X}$
+> >      - c $[2^{\geq 4}$ évidemment
 > >  - Si $R$ commence par $3$ alors $R =[3^{\leq 2}(\leq 2)^{2} \text{ ou } [3^{2}(\leq 2)^{1} \text{ ou } [3^{3}(\leq 2)^{3}$
 > >      - p $[3^{1}X^{1} \longleftarrow [X^{3}$
-> >      - down $[3^{1}(1 \text{ ou } 2)^{2}$ puisque :
+> >      - p $[3^{1}(\leq 2)^{2}$ puisque :
 > >          - p $[3^{1}1^{2}X \longleftarrow [1^{3}X^{1} \longleftarrow [1^{1}X^{1}$
 > >          - p $[3^{1}2^{2}X \longleftarrow [2^{3}X^{2}$ possible si $X \neq 2$
-> >          - c $[3^{1}3^{3} = [3^{4}$
-> >          - c $[3^{1}(n \geq 4)^{2} \longleftarrow [n^{3}X^{n\geq 4}$ impossible
+> >      - c $[3^{1}(\geq 3)^{2}$ puisque:
+> >          - c $[3^{1}3^{2}=[3^{3}$ impossible
+> >          - c $[3^{1}(\geq 4)^{2} =[34,4\cdots$ impossible car $4$ ne peut pas apparaître
 > >      - c $[3^{1}X^{3} = [3X,XX$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-1|théorème du jour 1]])
 > >      - p $[3^{2}(\leq 2)^1 \longleftarrow [3^{3}X^{\leq 2} \longleftarrow [3^{3}X^{3}$
 > >      - c $[3^{2}(\geq 3)^{1} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 3} = [33,3X,XX,\dots$ impossible 
-> >      - down $[3^{2}X^{2}$ on doit avoir $X \leq 2$
+> >      - p $[3^{2}(\leq 2)^{2}$ puisque :
 > >          - p $[3^{2}1^{2} \longleftarrow [3^{3}1^{1} \longleftarrow  [3^{3}1^{3}$
 > >          - p $[3^{2}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{3}X^{2}$
+> >      - c $[3^{2} (\geq 3)^{2}$ puisque :
 > >          - c $[3^{2}3^{2} = [3^{4}$ impossible
 > >          - c $[3^{2}(\geq 4)^{2} \longleftarrow [3^{3}X^{\geq 4}$ impossible
-> >      - down $[3^{2}X^{3}$
+> >      - p $[3^{2}(\leq 2)^{3}$ puisque :
 > >          - p $[3^{2}1^{3} \longleftarrow [3^{3}1^{1}X^{1} \longleftarrow [3^{3}1^{3}$
 > >          - p $[3^{2}2^{3} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2} \longleftarrow [3^{3}2^{2}X^{2}n^{X}$
+> >      - c $[3^{2}(\geq 3)^{3}$ puisque :
 > >          - c $[3^{2}3^{3} = [3^{5}$
 > >          - c $[3^{2}(\geq 4)^{3} \longleftarrow [3^{3}(\geq 4)^{(\geq 4)}X^{(\geq 4)}$ impossible
 > >      - c $[3^{3}$ impossible ([[désintégration audioactive#^thm-jour-2|théorème du jour 2]])
@@ -172,6 +184,18 @@ header-auto-numbering:
 > >      - c de même pour tous les $[(\geq 4)^{\geq 3} \longleftarrow [n^{n}$ avec $n \geq 4$
 > > 
 > > L'ensemble des possibilités se résume donc à :
+> >  - $[1^{1}] = [1^{1}X^{0}$
+> >  - $[1^{1}X^{1}$
+> >  - $[1^{1}2^{2}$
+> >  - $[1^{2}2^{\leq 3}$
+> >  - $[1^{3}X^{1}$ ou, plus généralement $[1^{3}$
+> >  - $[1^{3}2^{2}$
+> >  - $[2^{1}X^{\leq 2}$
+> >  - $[2^{3}$
+> >  - $[3^{1}X^{1}$
+> >  - $[3^{1}(\leq 2)^{\leq 3}$ qui peut être de l'une des formes :
+> >      - $[3^{1}$
+> > 
 > > ![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=186&rect=12,345,377,408|p.186]]