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flashcards algèbre.md

@@ -31,7 +31,7 @@ le _nombre d'éléments_ de son ensemble sous-jacent (pour un groupe)
 l'**ordre** d'un **élément** $a$ d'un groupe est...
 ??
 le plus petit nombre $n$ tel que $a^{*n}=a$
-<!--SR:!2024-01-01,365,312!2025-11-18,880,312-->
+<!--SR:!2027-07-11,1138,312!2025-11-18,880,312-->
 
 propriétés d'un [[espace vectoriel]]
 ??
@@ -52,9 +52,9 @@ sous espace vectoriel
  - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda u + v \in F$ (stable par combinaison linéaire)
 <!--SR:!2026-03-25,895,322-->
 
-propriétés d'un [[espace affine]] 
+propriétés d'un [[espace affine]]
 ?
-Soit $E$ un [[espace vectoriel]] 
+Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
 $\mathcal{E}$ est un [[espace affine]] ssi :
  - $\forall (A, B) \in \mathcal{E}^{2}, \quad \overrightarrow{AB} \in E$
      - toute paire de point forme un vecteur de $E$
@@ -64,7 +64,7 @@ $\mathcal{E}$ est un [[espace affine]] ssi :
      - [[relation de chasles]]
  - $\forall O \in \mathcal{E}, \quad \forall v \in E, \quad \exists!A \in E, \quad \overrightarrow{OA} = \vec{v}$
      - pour toute translation, il existe une image unique pour chaque point
-<!--SR:!2023-11-25,5,130-->
+<!--SR:!2024-06-01,3,130-->
 
 
 espace affine engendré par La famille de points $(\mathcal{A}_{i})$
@@ -73,7 +73,7 @@ $Aff(\mathcal{A})$
 Plus petit espace affine contenant tout les points d'une famille de points $(\mathcal{A}_{i})$
 $\begin{align} Aff(\mathcal{A}) &= \mathcal{A}_0+Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0M} \mid M \in \mathcal{A} \}) \\ &= \mathcal{A}_0 + Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_1}, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_2}, \dots, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_{k}} \}) \end{align}$
 $Aff(\mathcal{A})$ se construit avec une origine dans $\mathcal{A}$, et avec toutes les translations engendrées par la famille des vecteurs $\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_{0}M} \mid M \in \mathcal{A} \}$
-<!--SR:!2024-03-08,259,293-->
+<!--SR:!2026-06-26,758,293-->
 
 direction d'un espace affine $\mathcal{E}$
 ??
@@ -109,7 +109,7 @@ Soit $E$ un [[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]
 Soit $\mathcal{F}$ une [[famille de vecteurs libre|famille libre]] de vecteurs de $E$.
 On peut toujours ajouter un nombre fini de vecteurs à $\mathcal{F}$ pour qu'elle devienne une base de $E$
 (Ces vecteurs ajoutés rendent $\mathcal{F}$ [[famille de vecteurs génératrice|génératrice]] )
-<!--SR:!2024-03-12,264,293!2024-07-31,121,253-->
+<!--SR:!2026-07-11,773,293!2024-07-31,121,253-->
 
 Espace préhilbertien réel
 ??
@@ -117,7 +117,7 @@ Un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]], muni d'une [[forme bilinéaire]] $\varphi$
  - [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] : $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$
  - [[forme bilinéaire définie|définie]] : $\varphi(x, x) = 0 \iff x = \vec{0}$
  - [[forme bilinéaire positive|positive]] : $\varphi(x, x) \geq 0$
-<!--SR:!2024-04-18,189,282!2024-05-10,211,302-->
+<!--SR:!2024-09-02,96,262!2024-09-11,105,282-->
 
 # Applications
 
@@ -144,7 +144,7 @@ Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] où $\mathbf{K}$ admet une [[valeu
      - la [[réciproque (logique)|réciproque]] est vraie aussi
  - absolue [[application homogène|homogénéité]] : $\forall (\lambda, x) \in K \times E, \quad \mathcal{N}(\lambda x) = |\lambda|\mathcal{N}(x)$
  - [[inégalité triangulaire]] ([[application sous-additive]]) : $\forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$
-<!--SR:!2024-03-28,168,262!2024-04-19,190,282-->
+<!--SR:!2024-08-20,83,242!2026-06-13,745,302-->
 
 
 Soit $b$ une forme bilinéaire de matrice $B$,
@@ -169,12 +169,12 @@ endomorphisme symétrique
 ??
 $\langle \varphi(u), v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle$
 Sur $\mathbb{R}$, cela est équivalent à dire que la matrice de l'endomorphisme est symétrique
-<!--SR:!2024-02-13,85,242!2024-02-15,87,264-->
+<!--SR:!2024-07-10,42,222!2024-02-15,87,264-->
 
 endomorphisme adjoint d'un endomorphisme $f$
 ??
 $f^{*}$ tel que $\langle f^{*}(u), v \rangle = \langle u, f(v) \rangle$
-<!--SR:!2024-07-23,71,302!2023-12-18,141,322-->
+<!--SR:!2024-07-23,71,302!2025-08-25,453,322-->
 
 matrice adjointe de $A$
 ??
@@ -186,7 +186,7 @@ endomorphisme normal
 ??
 endomorphisme $f$ tel que $f$ commute avec son [[endomorphisme adjoint|adjoint]]:
 $f \circ f^{*} = f^{*} \circ f$
-<!--SR:!2024-03-10,62,262!2024-08-18,311,323-->
+<!--SR:!2024-07-03,35,242!2024-08-18,311,323-->
 
 spectre d'un endomorphisme linéaire
 ??
@@ -222,7 +222,7 @@ espace affine engendré par une famille de points $\mathcal{A}$
 ?
 plus petit espace affine contenant tous les points de $\mathcal{A}$
 C'est l'intersection de tous les espaces affines contenant $\mathcal{A}$
-<!--SR:!2024-01-09,124,273-->
+<!--SR:!2025-05-02,338,273-->
 
 
 valeur propre d'une matrice $M$
@@ -244,7 +244,7 @@ vecteur propre d'une application linéaire $\varphi$
 Soit $\varphi$ une application linéaire
 un **vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que** :
 il existe un scalaire $\lambda$ tel que $\varphi(u) = \lambda u$
-<!--SR:!2024-08-12,465,293!2023-12-15,224,313-->
+<!--SR:!2024-08-12,465,293!2024-09-17,111,293-->
 
 vecteur propre d'une matrice $M$
 ??
@@ -275,11 +275,11 @@ $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} M_{k,k}$
 <!--SR:!2025-03-19,636,293!2024-06-13,405,273-->
 
 
-[[matrice orthogonale]] 
+[[matrice orthogonale]]
 ??
 Matrice $M$ telle que $^TM = M^{-1}$
 (on montre qu'elle est composée de vecteurs unitaires)
-<!--SR:!2024-06-05,272,273!2024-01-26,218,253-->
+<!--SR:!2024-06-05,272,273!2024-09-14,108,233-->
 
 [[matrice symétrique]] 
 ??