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eduroam-prg-sg-1-44-17.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-15:14:9:14

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oskar
2025-10-15 14:09:14 +02:00
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théorie henkinienne.md
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@@ -8,6 +8,7 @@ aliases:
> [!definition] Définition > [!definition] Définition
> Une théorie $T$ est henkinienne si : > Une théorie $T$ est henkinienne si :
> - elle est [[théorie logique#^coherence|cohérente]]
> - elle est [[théorie logique#^completude-syntaxique|syntaxiquement complète]] > - elle est [[théorie logique#^completude-syntaxique|syntaxiquement complète]]
> - pour toute formule $f(x)$ en une variable libre $x$ telle que $T \vdash \exists x f$, il existe un terme clos $t$ dans le langage tel que $T \vdash f(t)$ > - pour toute formule $f(x)$ en une variable libre $x$ telle que $T \vdash \exists x f$, il existe un terme clos $t$ dans le langage tel que $T \vdash f(t)$
^definition ^definition
@@ -19,6 +20,9 @@ aliases:
> Soient $t_1, \dots, t_{n}$ et $u_1, \dots, u_{n}$ des termes clos tels que $T \vdash t_1 = u_1, \dots, T \vdash t_{n} = u_{n}$ > Soient $t_1, \dots, t_{n}$ et $u_1, \dots, u_{n}$ des termes clos tels que $T \vdash t_1 = u_1, \dots, T \vdash t_{n} = u_{n}$
> alors $T \vdash R(t_1, \dots, t_{n}) \leftrightarrow R(u_{1}, \dots, u_{n})$ > alors $T \vdash R(t_1, \dots, t_{n}) \leftrightarrow R(u_{1}, \dots, u_{n})$
> [!proposition]+
> Si $T$ est une théorie hentinienne, sa réalisation canonique en est un modèle
# Exemples # Exemples

27
théorie logique.md
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@@ -6,7 +6,6 @@
# Propriétés # Propriétés
## Cohérence
> [!proposition]+ Cohérence > [!proposition]+ Cohérence
> une théorie est cohérente si $\top \not \vdash \bot$ > une théorie est cohérente si $\top \not \vdash \bot$
> >
@@ -87,6 +86,32 @@
> > > et donc $T \vdash f$ par [[modus ponens]] > > > et donc $T \vdash f$ par [[modus ponens]]
> > > > > >
> [!proposition]+ Théorème (Gödel)
> Toute théorie cohérente a un modèle
>
> > [!démonstration]- Démonstration
> > **Principe de la démonstration :**
> > $T$ une théorie cohérente dans un langage $L$
> > $T \subseteq T'$ une théorie maximale
> > $T_1$ théorie cohérente dans un nouveau langage $L_1$
> > - $L_1 = L \cup \{ c_{f} \}$ avec $c_{f}$ un symbole de constante
>
> >
> > [!corollaire]
> > Soit $f$ un énoncé.
> > Pour que $T \vdash f$ il faut et il suffit que pour tout modèle $A$ de $T$, on ait $A \models f$
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > - si $T \vdash f$ alors $A \models f$ pour tout modèle $A$ de $T$
> > > - réciproque :
> > > Soit $T' = T \cup \{ \neg f \}$
> > > Si $T'$ est [[théorie logique#^coherence|cohérente]], il existe un modèle $A$ de $T'$
> > > $A$ est un modèle de $T$ dans lequel $A \models \neg f$
> > > Donc $T'$ n'est pas cohérente.
> > > $T' \cup \{ \neg f \} \vdash \bot$
> > > par le théorème de déduction :
> > > $T \vdash (\neg f \to \bot)$
> > > donc $T \vdash f$ car $f \leftrightarrow (\neg f \to \bot)$ est une [[règles de démonstration . tautologies|tautologie]]
>
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