eduroam-prg-sg-1-44-17.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-15:14:9:14

théorie logique.md

@@ -6,7 +6,6 @@
 
 # Propriétés
 
-## Cohérence
 > [!proposition]+ Cohérence
 > une théorie est cohérente si $\top \not \vdash \bot$
 > 
@@ -87,6 +86,32 @@
 > > >   et donc $T \vdash f$ par [[modus ponens]]
 > > >   
 
+> [!proposition]+ Théorème (Gödel)
+> Toute théorie cohérente a un modèle
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > **Principe de la démonstration :**
+> > $T$ une théorie cohérente dans un langage $L$
+> > $T \subseteq T'$ une théorie maximale
+> > $T_1$ théorie  cohérente dans un nouveau langage $L_1$
+> >  - $L_1 = L \cup \{ c_{f} \}$ avec $c_{f}$ un symbole de constante 
+> 
+> > 
+> > [!corollaire] 
+> > Soit $f$ un énoncé.
+> > Pour que $T \vdash f$ il faut et il suffit que pour tout modèle $A$ de $T$, on ait $A \models f$
+> > > [!démonstration]- Démonstration
+> > >  - si $T \vdash f$ alors $A \models f$ pour tout modèle $A$ de $T$
+> > >  - réciproque : 
+> > >    Soit $T' = T \cup \{ \neg f \}$
+> > >    Si $T'$ est [[théorie logique#^coherence|cohérente]], il existe un modèle $A$ de $T'$
+> > >    $A$ est un modèle de $T$ dans lequel $A \models \neg f$
+> > >    Donc $T'$ n'est pas cohérente. 
+> > >    $T' \cup \{  \neg f \} \vdash \bot$
+> > >    par le théorème de déduction :
+> > >    $T \vdash (\neg f \to \bot)$
+> > >    donc $T \vdash f$ car $f \leftrightarrow (\neg f \to \bot)$ est une [[règles de démonstration . tautologies|tautologie]]
+> 
 
 
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