MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-3-22:1:36:7

fonction récursive primitive.md

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   - state off
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 > [!definition] [[fonction récursive primitive]]
 > On définit par [[induction]] l'ensemble des fonctions récursives primitives comme suit :
 > > [!definition] ensembles $\mathscr{F}_{p}$ et $\mathscr{F}$
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 # Propriétés
 
-> [!proposition]+ les fonctions récursives primitives possèdent des algorithmes les calculant
+> [!proposition]- les fonctions récursives primitives possèdent des algorithmes les calculant
 > Il existe un algorithme pour calculer chacune des fonctions récursives primitives.
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > Cela est évident : 
@@ -90,7 +88,7 @@ header-auto-numbering:
 ## Fonctions élémentaires
 Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont récursives primitives.
 
-> [!proposition]+ L'addition est récursive primitive
+> [!proposition]- L'addition est récursive primitive
 > La fonction d'addition $\lambda x y. x + y$ est récursive primitive
 >  - dem $\operatorname{add} = \rho(P_1^{1}, S(P_3^{3}))$
 >
@@ -103,7 +101,7 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > > 
 ^addition
 
-> [!proposition]+ La multiplication est récursive primitives
+> [!proposition]- La multiplication est récursive primitives
 > $\operatorname{mult} =\lambda xy. x \times y$ est récursive primitive
 >  - dem $\operatorname{mult} = \rho(C_1^{0}, \operatorname{add}(P_3^{3}, P_{3}^{1}))$
 >    
@@ -113,12 +111,12 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > > Comme on sait déjà que $\operatorname{add}$ est récursive primitive, il suit que $\operatorname{mult}$ l'est également
 ^multiplication
 
-> [!proposition]+ La fonction puissance est récursive primitive
+> [!proposition]- La fonction puissance est récursive primitive
 > $\operatorname{pow} = \lambda xy. x^{y}$ est récursive primitive
 > - dem $\operatorname{pow} = \rho(C_{1}^{1}, \operatorname{mult}(P_{3}^{3}, P_3^{1}))$
 ^puissance
 
-> [!proposition]+ La soustraction positive est récursive primitve
+> [!proposition]- La soustraction positive est récursive primitve
 > On note $x \dot{-} y$ la soustraction avec un plancher à 0 :
 > $x \dot{-} y = \begin{cases} x-y \text{ si } x \geq y\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
 > La fonction $\lambda xy. x \dot{-} y$ est récursive primitive.
@@ -134,7 +132,7 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > > Maintenant, on peut définir $\operatorname{sub} = \lambda xy.x \dot{-} y$ comme :
 > > $\operatorname{sub} = \rho(P_1^{1}, \operatorname{prec}(P_3^{3}))$
 
-> [!proposition]+ La fonction signe est récursive primitive
+> [!proposition]- La fonction signe est récursive primitive
 > On définit la [[fonction signe]] par :
 > $\operatorname{sg}: \begin{cases} \operatorname{sg}(0) = 0\\ \operatorname{sg(x) = 1 \text{ si } x \neq 0} \end{cases}$ (car on est sur $\mathbb{N}$)
 > Cette fonction est récursive primitive
@@ -144,11 +142,11 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > >  - $\operatorname{sg} = \rho(C_0^{0}, C_2^{1})$
 > > Ce qui montre, dans tous les cas, que $\operatorname{sg}$ est récursive primitive
 
-> [!proposition]+ Le prédicat $x>y$ est récursif primitif
+> [!proposition]- Le prédicat $x>y$ est récursif primitif
 > Le prédiat $x>y$ est récursif primitif.
 >  - dem ce prédicat est équivalent à $\operatorname{sg}(x \dot{-}y)$
 
-> [!proposition]+ Somme et produits limités
+> [!proposition]- Somme et produits limités
 > Soit $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ une fonction récursive primitive
 > Alors les fonctions :
 >  - $g = \lambda x_1 x_2 \dots x_{p} y. \sum\limits_{t=0}^{y} f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, t)$
@@ -235,7 +233,7 @@ On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stabl
 > Et ces fonctions $f$ et $f'$ sont récursives primitives dès que $g, g', h, h'$ sont toutes les quatres récursives primitives.
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > Pour montrer que $f$ et $f'$ sont prim-réc dès que $g, g', h$ et $h'$ le sont, introduisons la fonctions $k = \alpha_2(f, f')$.
+> > Pour montrer que $f$ et $f'$ sont prim-réc dès que $g, g', h$ et $h'$ le sont, introduisons la fonctions $k = \alpha_2(f, f')$, en utilisant $\alpha_2$ qui bijecte les couples de $\mathbb{N}^{2}$ et les entiers de $\mathbb{N}$ (voir [[suites finies d'entiers comme fonctions récursives primitives]])
 > > Comme $f$ et $f'$ sont en même temps dans cette fonction, on peut la définir d'un seul coup par schéma de récurrence. Pour cela, on mélange les deux valeurs de $f$ et $f'$ en une seule (c'est la valeur de $k$), et on la sépare à nouveau lors du calcul du schéma de récurrence.
 > > $k$ peut donc être définie comme suit :
 > > $k(\overline{x}, 0) = \alpha_2(g(\overline{x}), g'(\overline{x}))$
@@ -244,8 +242,6 @@ On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stabl
 
 ![[schéma mu borné#^main|schéma µ borné]]
 
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 # Exemples
 
 > [!example] fonction partie entière $q(x, y)$