eduroam-prg-og-1-29-184.net.univ-paris-diderot.fr 2026-3-23:12:1:0

corps des entiers relatifs.md

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+up:
+  - "[[corps commutatif]]"
+tags:
+  - s/maths
+aliases:
+  - entiers relatifs
+  - corps ℤ
+  - ℤ
+---
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+
+> [!definition] [[corps des entiers relatifs]]
+> $\mathbb{Z}$ 
+^definition
+
+# Propriétés
+> [!proposition]+ Division euclidienne
+> soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^{*}$
+> Alors $\exists ! (q, r) \in \mathbb{Z}^{2},\quad \begin{cases} a = bq + r\\ \begin{align} 0 \leq r & < b \\&\leq b-1 \end{align} \end{cases}$
+> > [!démonstration]- Démonstration – Existence
+> > $b \neq 0$
+> > On pose $q = \left\lfloor  \dfrac{a}{b}  \right\rfloor \in \mathbb{Z}$ et $r = a - bq \in \mathbb{Z}$
+> > Par définition de $r$ on a $q = bq+r$
+> > $\displaystyle \frac{a}{b} - 1 < \underbrace{\left\lfloor  \frac{a}{b}  \right\rfloor}_{q} \leq \frac{a}{b}$
+> > $b > 0$ donc :
+> > $a - b < bq \leq a$
+> > $- a+ b > -bq \geq -a$
+> > $b > \underbrace{a - bq}_{r} \geq 0$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration – Unicité
+> > Soient $(q, r)$ et $(q', r')$ deux couples qui conviennent
+> > Alors $bq + r = a = bq' + r'$
+> > donc $b(q - q') = r' - r$
+> > or $0 \leq r' < b$ et $0 \leq r < b$
+> > donc $-b$
+
+# Exemples
+